豐台區2023年高三年級第二學期統一練習（二） 2015.5
數學（理科）
第一部分 （選擇題共40分）
選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．已知，，則
2．「a=0」是「複數(a，b∈r)為純虛數」的
3．直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為
4．函式的所有零點的和等於
5．某三稜錐的正檢視和俯檢視如圖所示，則其左檢視面積為
6．平面向量與的夾角是，且，，如果，，d 是bc的中點，那麼
7．某生產廠家根據市場調查分析，決定調整產品生產方案，準備每週（按5天計算）生產a，b，c三種產品共15噸（同一時間段內只能生產一種產品），已知生產這些產品每噸所需天數和每噸產值如下表：
則每週最高產值是
8．拋物線的焦點為，經過的直線與拋物線在軸上方的部分相交於點，與準線交於點，且於，如果，那麼的面積是
a．4 b． c． d．8
第二部分 （非選擇題共110分）
一、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
9．已知正實數，滿足，則的最小值是 ．
10．直線的斜率是，且過曲線（為引數）的對稱中心，則直線的方程是 ．
11．已知函式，則的最小正週期是 ；如果的導函式是，則 ．
12．執行如圖所示的程式框圖，則輸出的結果是 ．
13．如圖所示，△內接於⊙，是⊙的切線，，，則
14. 已知非空集合，滿足以下四個條件：
①；②；③中的元素個數不是中的元素；④中的元素個數不是中的元素．
（ⅰ）如果集合中只有1個元素，那麼______；
（ⅱ）有序集合對（，）的個數是______．
二、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
15.（本小題共13分）
在△中，，，點在邊上，且為銳角，，△的面積為4．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求邊ac的長．
16.（本小題共13分）
長時間用手機上網嚴重影響著學生的健康，某校為了解a，b兩班學生手機上網的時長，分別從這兩個班中隨機抽取6名同學進行調查，將他們平均每週手機上網時長作為樣本資料，繪製成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數字，葉表示個位數字）．如果學生平均每週手機上網的時長超過21小時，則稱為「過度用網」．
（ⅰ）請根據樣本資料，分別估計a，b兩班的學生平均每週上網時長的平均值；
（ⅱ）從a班的樣本資料中有放回地抽取2個資料，求恰有1個資料為「過度用網」的概率；
（ⅲ）從a班、b班的樣本中各隨機抽取2名學生的資料，記「過度用網」的學生人數為，寫出的分布列和數學期望．
17.（本小題共14分）
如圖所示，在四稜柱中，底面，於,且，點是稜上一點．
（ⅰ）如果過，，的平面與底面交於直線，求證：；
（ⅱ）當是稜中點時，求證：；
（ⅲ）設二面角的平面角為，當時，求的長．
18.（本小題共13分）
已知數列滿足， ，其前項和為．
（ⅰ）寫出，；
（ⅱ）求數列的通項公式；
（ⅲ）求的最大值．
19.（本小題共14分）
已知橢圓：的焦距為，其兩個焦點與短軸的乙個頂點是正三角形的三個頂點．
（ⅰ）求橢圓c的標準方程；
（ⅱ）動點p在橢圓上，直線：與x軸交於點n，於點（，不重合），試問在x軸上是否存在定點，使得的平分線過中點，如果存在，求定點的座標；如果不存在，說明理由．
20.（本小題共13分）
已知函式().
（ⅰ）求函式的最大值；
（ⅱ）如果關於的方程有兩解，寫出的取值範圍（只需寫出結論）；
（ⅲ）證明：當且時，．
（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）
豐台區2023年高三年級第二學期數學統一練習（二）
數學（理科）參***
選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．
一、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
91011．；
1213．414．；32
注：第11，13，14題第乙個空填對得3分，第二個空填對得2分．
二、解答題：
15.（本小題共13分）
解：（ⅰ）因為
所以因為為銳角，
所以6分
（ⅱ）在中，因為，
所以因為，
所以．所以為直角三角形
因為，所以，即13分
16.（本小題共13分）
解：（ⅰ）a班樣本資料的平均值為，
由此估計a班學生每週平均上網時間19小時；
b班樣本資料的平均值為，
由此估計b班學生每週平均上網時間22小時2分
（ⅱ）因為從a班的6個樣本資料中隨機抽取1個的資料，為「過度用網」的概率是，
所以從a班的樣本資料中有放回的抽取2個的資料，恰有1個資料為「過度用網」的概率為5分
（ⅲ）的可能取值為0，1，2，3，4
， ，，，．
的分布列是：
13分17.（本小題共14分）
證明：（ⅰ）因為是稜柱，所以是平行四邊形．
所以．因為平面，平面，
所以平面
因為平面平面
所以． 所以．………………4分
（ⅱ）因為於，如圖建立空間直角座標系．
因為，且，
所以，，，
．因為是稜中點，所以．
設，所以，．
所以．所以8分
（ⅲ）設，，平面的法向量為，
又因為，，
所以．因為，所以，令，則，所以．
設，所以，．
設平面的法向量為，
所以．因為，所以，令，則，所以．
又因為，
所以，即．
解得或所以點或．
所以或14分
18.（本小題共13分）
解：（ⅰ）因為，
所以，，
3分（ⅱ）當為奇數時，，
即．所以的奇數項成首項為，公差為的等差數列．
所以當為奇數時
當為偶數時
所以10分
（ⅲ）因為偶數項，奇數項為遞減數列，
所以取最大值時為偶數
令()， 即．
所以．得
所以的最大值為．
……………………13分
19.（本小題共14分）
已知橢圓：的焦距為，其兩個焦點與短軸的乙個頂點是正三角形的三個頂點．
（ⅰ）求橢圓c的標準方程；
（ⅱ）動點p在橢圓上，直線：與x軸交於點n，於點（，不重合），試問在x軸上是否存在定點，使得的平分線過中點，如果存在，求定點的座標；如果不存在，說明理由．
19.（本小題共14分）
解：（ⅰ）因為橢圓的焦距，
所以因為兩個焦點與短軸的乙個頂點構成正三角形，
所以所以橢圓c的標準方程為4分
（ⅱ）假設存在點，使得的平分線過中點．
設，，的中點為．
因為於點（，不重合），且的平分線過，
所以又因為為的中點，所以即
因為點在橢圓上，所以，
代入上式可得
因為對於任意的動點p，的平分線都過，
所以此式對任意都成立．
所以解得
所以存在定點，使得的平分線過中點，
此時定點的座標為14分
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