北京市豐台區2023年高三年級第二學期統一練習（一）
數學試題（文）
注意事項：
1．答題前，考生務必先將答題卡上的學校、年級、班級、姓名、准考證號用黑色字跡簽字筆填寫清楚，並認真核對條形碼上的准考證號、姓名，在答題卡的「條形碼貼上區」貼好條形碼.
2．本次考試所有答題均在答題卡上完成.選擇題必須使用2b鉛筆以正確填塗方式將各小題對應選項塗黑，如需改動，用橡皮擦除乾淨後再選塗其它選項.非選擇題必須使用標準黑色字跡簽字筆書寫，要求字型工整、字跡清楚.
作圖題用2b鉛筆作圖，要求線條、圖形清晰.
3．請嚴格按照答題卡上題號在相應答題區內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題、草稿紙上答題無效.
4．請保持答題卡卡面清潔，不要裝訂、不要摺疊、不要破損.
一、本大題共8小題，每小題5分共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1．複數化簡的結果等於
a．-i b．i
c．-2i d．2i
2．函式的定義域是（ ）
a． b．
c． d．
3．在右面的程度框圖中，若x=5，則輸出i的值是（ ）
a．2 b．3
c．4 d．5
4．直線所得劣弧所對圓
心角為 a． b． c． d．
5．若，則在下列四個選項中，較大的是
a． b． c． d．b
6．奇函式上單調遞增，若則不等式的解集是（ ）
a． b．
c． d．
7．若集合，則q中元素的個數是（ ）
a．3 b．5 c．7 d．9
8．在，的
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.
9．若乙個底面是正三角形的稜柱的三檢視及其尺寸如下圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是cm3.
10．設等比數列的公比為前n項和為
11．已知向量等於
12．函式的圖象在點處的切線方程是
13．已知函式
14．已知點a（1，-1），點b（3，5），點p是直線上動點，當|pa|+|pb|的值最小時，點p的座標是
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15．（12分）
已知函式的圖象經過點
（i）求實數a、b的值；
（ii）若，求函式的最大值及此時x的值.
16．（13分）
如圖，在底面是正方形的四稜錐p—abcd中，pa⊥面abcd，bd交ac於點e，f是pc中點，g為ac上一點.
（i）求證：bd⊥fg；
（ii）確定點g**段ac上的位置，使fg//平面pbd，並說明理由.
17．（15分）
某校高三（1）班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據此解答如下問題.
（i）求全班人數及分數在之間的頻數；
（ii）估計該班的平均分數，並計算頻率分布直方圖中間的矩形的高；
（iii）若要從分數在[80，100]之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，在抽取的試卷中，求至少有乙份分數在[90，100]之間的概率.
18．（13分）
設 （i）若函式在區間（1，4）內單調遞減，求a的取值範圍；
（ii）若函式處取得極小值是1，求a的值，並說明在區間（1，4）內函式的單調性.
19．（13分）
在直角座標系中，點m到點的距離之和是4，點m的軌跡是c，直線與軌跡c交於不同的兩點p和q.
（i）求軌跡c的方程；
（ii）是否存在常數？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.
20．（14分）
設集合w由滿足下列兩個條件的數列構成：
①②存在實數m，使（n為正整數）
（i）在只有5項的有限數列
；試判斷數列是否為集合w的元素；
（ii）設是等差數列，是其前n項和，證明數列；並寫出m的取值範圍；
（iii）設數列且對滿足條件的常數m，存在正整數k，使
求證：參***
一、選擇題（每小題5分，共40分）
adcddabc
二、填空題（每小題5分，共30分）
9． 10．15
11．5
12．13．2
14．（2，2）
三、解答題：（本大題共6小題，共80分）
15．（12分）
解：（i）∵函式的圖象經過點，
4分解得5分
（ii）由（i）知： …………8分
9分時，
取得最大值12分
16．（13分）
證明：（i）面abcd，四邊形abcd是正方形，
其對角線bd，ac交於點e，
∴pa⊥bd，ac⊥bd.
∴bd⊥平面apc，
平面pac，
∴bd⊥fg7分
（ii）當g為ec中點，即時，
fg//平面pbd， …………9分
理由如下：
連線pe，由f為pc中點，g為ec中點，知fg//pe，
而fg平面pbd，pb平面pbd，
故fg//平面pbd. …………13分
17．（15分）
解：（i）由莖葉圖知，分數在之間的頻數為2，頻率為
全班人數為3分
所以分數在之間的頻數為 …………5分
（ii）分數在之間的總分為56+58=114；
分數在之間的總分為60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；
分數在之間的總分數為70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；
分數在之間的總分約為85×4=340；
分數在之間的總分數為95+98=193；
所以，該班的平均分數為…………8分
估計平均分時，以下解法也給分：
分數在之間的頻率為2/25=0.08;
分數在之間的頻率為7/25=0.28；
分數在之間的頻率為10/25=0.40;
分數在之間的頻率為4/25=0.16
分數在之間的頻率為2/25=0.08;
所以，該班的平均分約為
頻率分布直方圖中間的矩形的高為…………10分
（iii）將之間的4個分數編號為1，2，3，4，[90，100]之間的2個分數編號為5，6，在[80，100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6）
（4，5），（4，6）
（5，6）共15個12分
其中，至少有乙個在[90，100]之間的基本事件有9個， …………14分
故至少有乙份分數在[90，1000]之間的頻率是 …………15分
18．解： …………2分
（1）（1，4）內單調遞減，
5分 （2）處有極值是1，
即所以a=0或38分
當a=0時，f（x）在上單調遞增，
在（0，1）上單調遞減，所以f（0）為極大值，
這與函式f（x）在x=a處取得極小值是1矛盾，
所以10分
當a=3時，f（x）在（1，3）上單調遞減，在上單調遞增，
所以f（3）為極小值，
所以a=3時，此時，在區間（1，4）內函式f（x）的單調性是：
f（x）在（1，3）內減，在內增13分
19．（13分）
解：（1）的距離之和是4，
的軌跡c是長軸為4，焦點在x軸上焦距為的橢圓，
其方程為 …………4分
（2）將，代入曲線c的方程，
整理得 ①
6分設由方程①，得
8分又 ③
若得10分
將②、③代入上式，
解得12分
又因k的取值應滿足
即（*），
將代入（*）式知符合題意13分
20．（14分）
解：（i）對於數列，當n=1時，
顯然不滿足集合w的條件，①
故不是集合w中的元素2分
對於數列，當時，
不僅有而且有，
顯然滿足集合w的條件①②，
故是集合w中的元素4分
（ii）是等差數列，是其前n項和，
設其公差為d，
…………7分
的最大值是
即，且m的取值範圍是 …………9分
（iii）證明：
整理，又14分
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