北京市海淀區高三第二學期一模練習
數學 （理科2013.4
一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1.集合，則
ab. c. d.
2.在極座標系中, 曲線圍成的圖形面積為
b3.某程式的框圖如圖所示，執行該程式， 若輸入的值為5，則輸出的值為
bcd.
4.不等式組表示面積為1的直角三角形區域，則的值為
bcd.
5. 若向量滿足，則的值為
abcd.
6. 乙個盒子裡有3個分別標有號碼為1，2，3的小球，每次取出乙個，記下它的標號後再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有
a. 12種b. 15種c. 17種d. 19種
7. 拋物線的焦點為，點為該拋物線上的動點，又點，則的最
小值是abcd.
8. 設為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線.給出下列三個結論：
①，使得是直角三角形；
②，使得是等邊三角形；
③三條直線上存在四點，使得四面體為在乙個頂點處的三條稜兩兩互相垂直的四面體.
其中，所有正確結論的序號是
abcd. ②③
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 在復平面上，若複數（）對應的點恰好在實軸上，則=_______.
10.等差數列中, , 則
11.如圖，與切於點，交弦的延長線於點，
過點作圓的切線交於點. 若，，
則弦的長為_______.
12.在中，若，則
13.已知函式有三個不同的零點，則實數的取值範圍是_____.
14.已知函式，任取，定義集合：
，點，滿足.
設分別表示集合中元素的最大值和最小值，記. 則
（1）函式的最大值是_____；
（2）函式的單調遞增區間為
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
15.（本小題滿分13分）
已知函式.
（ⅰ）求的值和的最小正週期；
（ⅱ）求函式在區間上的最大值和最小值.
16.（本小題滿分13分）
在某大學自主招生考試中，所有選報類志向的考生全部參加了「數學與邏輯」和「閱讀與表達」兩個科目的考試，成績分為a,b,c,d,e五個等級. 某考場考生兩科的考試成績的資料統計如下圖所示， 其中「數學與邏輯」科目的成績為b的考生有10人.
（）求該考場考生中「閱讀與表達」科目中成績為a的人數；
（）若等級a，b，c，d，e分別對應5分，4分，3分，2分，1分.
（i）求該考場考生「數學與邏輯」科目的平均分；
(ii)若該考場共有10人得分大於7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 從這10
人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數學期望.
17.（本小題滿分14分）
在四稜錐中，平面，是正三角形，與的交點恰好是中點，又，，點**段上，且．
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證：平面;
（ⅲ）求二面角的余弦值．
18.（本小題滿分13分）
已知函式(其中為常數且)在處取得極值.
(i) 當時，求的單調區間；
(ii) 若在上的最大值為，求的值.
19.（本小題滿分14分）
已知圓：（）.若橢圓：（）的右頂點為圓的圓心，離心率為.
（i）求橢圓的方程；
（ii）若存在直線：，使得直線與橢圓分別交於，兩點，與圓分別交於，兩點，點**段上，且，求圓半徑的取值範圍.
20.（本小題滿分13分）
（ⅱ）求證：若與重合，一定為偶數；
（ⅲ）若，且， 記，求的最大值.
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