海淀區高三年級第二學期期中練習
數學 （文科2011.4
選擇題 （共40分）
一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1、已知集合，，則
a. b. c. d. r
2. 設，則
a. b. cd.
3．函式圖象的對稱中心為
ab.cd.
4. 執行如圖所示的程式框圖，若輸入的值為2，則輸出的值為
a. 25b．24c. 23 d．22
5.從集合中隨機選取乙個數記為，從集合中隨機選取乙個數記為，則直線不經過第三象限的概率為
abcd.
6. 在同乙個座標系中畫出函式的部分圖象，其中，則下列所給圖象中可能正確的是
7. 已知函式則「」是「在上單調遞增」的
a．充分而不必要條件b．必要而不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
8.若直線被圓所截的弦長不小於2，則與下列曲線一定有公共點的是
a． b．． c. d．
非選擇題（共110分）
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.
9. 計算
10. 為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學利用假期分別對三個社群進行了「家庭每月日常消費額」的調查.他們將調查所得到的資料分別繪製成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調查資料的標準差分別為，，則它們的大小關係為用「」連線）
11. 如圖，在正方體中，點p是上底面內一動點，則三稜錐的主檢視與左檢視的面積的比值為
12. 已知函式，則函式圖象在點處的切線方程為_______
13. 已知向量，其中.若，則的取值範圍為
14．如圖，線段=8，點**段上，且=2，為線段上一動點，點繞點旋轉後與點繞點旋轉後重合於點.設=， 的面積為.則的定義域為________；的最大值為
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
15. （本小題共13分）
在中，內角a、b、c所對的邊分別為，已知，,且.
(ⅰ) 求；
(ⅱ) 求的值.
16. （本小題共13分）
數列的前項和為，若且（，）.
( i )求；
( ii ) 是否存在等比數列滿足？若存在，則求出數列的通項公式；若不存在，則說明理由.
17. （本小題共13分）
如圖：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且為中點.
( i ) 求證：平面；
( ii ) 求證：.
18. （本小題共14分）
已知函式
（ⅰ）若，求函式的極值和單調區間；
(ii) 若在區間上至少存在一點，使得成立，求實數的取值範圍.
19. （本小題共14分）
已知橢圓經過點其離心率為.
（ⅰ）求橢圓的方程；
(ⅱ)設直線與橢圓相交於a、b兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形oapb，其中頂點p在橢圓上，為座標原點. 求到直線距離的最小值.
20. （本小題共13分）
已知每項均是正整數的數列，其中等於的項有個，
設，（ⅰ）設數列，求；
(ii) 若中最大的項為50， 比較的大小；
（ⅲ）若，求函式的最小值.
海淀區高三年級第二學期期中練習
數學（文）
答案及評分參考 2011．4
選擇題 （共40分）
一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
非選擇題 （共110分）
二、填空題（本大題共6小題,每小題5分. 共30分.有兩空的題目，第一空3分，第二空2分）
910. >>11. 1
121314.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15. （共13分）
解：（i）因為3分
代入得到6分
（ii）因為7分
所以9分
又，所以10分
因為，且，所以11分
由，得13分
16. （共13分）
解：（i）因為，所以有對，成立 ………2分
即對成立，又, 所以對成立 …………………3分
所以對成立 ，所以是等差數列4分
所以有6分
（ii）存在7分
由（i），，對成立
所以有，又9分
所以由 ，則11分
所以存在以為首項，公比為3的等比數列，
其通項公式為13分
17. （共13分）
證明: (i) 因為為中點，
所以1分
又，所以有2分
所以為平行四邊形,所以3分
又平面平面
所以平面5分
(ii)連線.
因為所以為
平行四邊形6分
又,所以為菱形，
所以7分
因為正三角形,為中點，
所以8 分
又因為平面平面,平面平面 ，
所以平面10分
而平面，所以 ，
又，所以平面12分
又平面，所以13分
18. （共14分）
解：（i）因為2分
當令，得3分
又的定義域為，
，隨的變化情況如下表：
所以時，的極小值為15分
的單調遞增區間為，單調遞減區間為6分
（ii）解法一：
因為 ，且，
令，得到 ，
若在區間上存在一點，使得成立，
其充要條件是在區間上的最小值小於0即可7分
（1）當，即時，對成立，
所以，在區間上單調遞減，
故在區間上的最小值為，
由，得，即9分
（2）當，即時，
① 若，則對成立，所以在區間上單調遞減，
所以，在區間上的最小值為，
顯然，在區間上的最小值小於0不成立11分
② 若，即時，則有
所以在區間上的最小值為，
由，得 ，解得，即13分
綜上，由(1)（2）可知：符合題意14分
解法二：若在區間上存在一點，使得成立， 即，
因為, 所以，只需7分
令，只要在區間上的最小值小於0即可
因為，令，得9分
（1）當時：
因為時，，而，
只要，得，即11分
（2）當時：
所以，當時，極小值即最小值為，
由， 得 ，即13分
綜上，由(1)（2）可知，有14分
19. （共14分）
解：（ⅰ）由已知，，所以1分
又點在橢圓上，所以2分
由①②解之，得.
故橢圓的方程為5分
(ⅱ) 當直線有斜率時，設時，
則由消去得6分
， ③…………7分
設a、b、點的座標分別為，則：
，…………8分
由於點在橢圓上，所以9分
從而，化簡得，經檢驗滿足③式.10分
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