海淀區高三年級第一學期期末練習
數學（文）答案及評分參考 2015.1
一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）
（1）b2）d3）a4）d
（5）b6）c7）c8）a
二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分。有兩空的小題，第一空2分，第二空3分）
（910）311
（1213）；414）
三、解答題（共6小題，共80分）
（15）（共13分）
解：（ⅰ）的值是2分
的值是5分
（ⅱ）由（ⅰ）可知：.
因為，所以7分
所以當，即時，取得最大值10分
當，即時，取得最小值13分
（16）（共13分）
解：（ⅰ）抽取的5人中男同學的人數為，女同學的人數為.
4分（ⅱ）記3名男同學為，2名女同學為. 從5人中隨機選出2名同學，所有可能的結果有，共10個.
6分用表示：「選出的兩名同學中恰有一名女同學」這一事件，則中的結果有6個，它們是8分
所以選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率10分
13分（17）（共14分）
證明：（ⅰ）在菱形中，∥.
因為平面，平面，
所以平面3分
（ⅱ）連線.
在正方形中
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面5分
因為平面
所以6分
在菱形中，.
因為平面，平面，，
所以平面8分
因為平面，
所以10分
（ⅲ）四點不共面. 理由如下11分
因為分別是的中點，
所以∥.
同理可證：∥.
因為平面，平面，，平面，平面
所以平面∥平面.
因為平面，
所以平面，即四點不共面14分
（18）（共13分）
解：（ⅰ）由題意可知橢圓的標準方程為：，則.
所以橢圓的長軸長為2分
因為，所以，即的離心率為4分
（ⅱ）若三點共線，由是線段的垂直平分線可得：
6分由（ⅰ）可得，設7分
所以. ①
又因為10分
由①②可得：（舍），或11分
當時，直線的方程為，顯然滿足題意.
所以存在直線使得三點共線，直線的方程為13分
（19）（共13分）
（ⅰ）解1分
因為切線過原點，
所以3分
解得4分
（ⅱ）證明：設，則.
令，解得6分
在上變化時，的變化情況如下表
所以當時，取得最小值8分
所以當時，，即9分
（ⅲ）解：當時，集合的元素個數為0；
當時，集合的元素個數為1；
當時，集合的元素個數為2；
當時，集合的元素個數為313分
（20）（共14分）
解：（ⅰ）因為，，
所以，.
因為，所以，即2分
所以.所以數列是以1為首項，3為公差的等差數列.
所以4分
（ⅱ）若數列是等比數列，則.
由（ⅰ）可得6分
解得：.
當時，由得：.
顯然，數列是以1為首項，1為公比的等比數列.
所以7分
（ⅲ）當時，由（ⅱ）知：.
所以，即數列就是乙個無窮等差數列.
所以當時，可以得到滿足題意的等差數列.
當時，因為，，即，
所以數列是以1為首項，為公差的等差數列.
所以.下面用反證法證明：當時，數列中不能取出無限多項並按原來次序排列而成等差數列.
假設存在，從數列中可以取得滿足題意的無窮等差數列，不妨記為. 設數列的公差為.
①當時，.
所以數列是各項均為正數的遞減數列.
所以.因為，
所以當時，，這與矛盾.
②當時，令，解得：.
所以當時，恆成立.
所以數列必然是各項均為負數的遞增數列.
所以.因為，
所以當時，，這與矛盾.
綜上所述，是唯一滿足條件的的值14分
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