海淀區高三年級第二學期期中練習
數學(理科)
2012.04
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
(1)已知集合,,且,那麼的值可以是
(abcd)
(2)在等比數列中,,則=
(abcd)
(3)在極座標系中,過點且平行於極軸的直線的極座標方程是
(a) (b)
(c) (d)
(4)已知向量,若與垂直,則
(ab(c)2d)4
(5)執行如圖所示的程式框圖,輸出的值是
(a)4b)5
(c)6d)7
(6)從甲、乙等5個人中選出3人排成一列,則甲不在排頭的排法種數是
(a)12b)24
(c)36d)48
(7)已知函式若,使得成立,則實數的取值範圍是
(ab)
(cd)或
(8)在正方體中,若點(異於點)是稜上一點,則滿足與所成的角為的點的個數為
(a)0b)3
(c)4d)6
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分,把答案填在題中橫線上.
(9)複數在復平面內所對應的點在虛軸上,那麼實數
(10)過雙曲線的右焦點,且平行於經過
一、三象限的漸近線的直線方程是
(11)若,則
(12)設某商品的需求函式為,其中分別表示需求量和**,如果商品需求彈性大於1(其中,是的導數),則商品**的取值範圍是
(13)如圖,以的邊為直徑的半圓交於點,交於點,於點,,,那麼
(14)已知函式則
(ⅱ)給出下列三個命題:
①函式是偶函式;
②存在,使得以點為頂點的三角形是等腰直角三角形;
③存在,使得以點為頂點的四邊形為菱形.
其中,所有真命題的序號是
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
(15)(本小題滿分13分)
在中,角,,的對邊分別為,且,,成等差數列.
(ⅰ)若,,求的值;
(ⅱ)設,求的最大值.
(16)(本小題滿分14分)
在四稜錐中, //,,,平面,.
(ⅰ)設平面平面,求證: //;
(ⅱ)求證:平面;
(ⅲ)設點為線段上一點,且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
(17)(本小題滿分13分)
某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間(單位:分鐘),並將所得資料繪製成頻率分布直方圖(如圖),其中,上學所需時間的範圍是,樣本資料分組為,,,,.
(ⅰ)求直方圖中的值;
(ⅱ)如果上學所需時間不少於1小時的學生可申請在學校住宿,請估計學校600名新生中有多少名學生可以申請住宿;
(ⅲ)從學校的新生中任選4名學生,這4名學生中上學所需時間少於20分鐘的人數記為,求的分布列和數學期望.(以直方圖中新生上學所需時間少於20分鐘的頻率作為每名學生上學所需時間少於20分鐘的概率)
(18)(本小題滿分13分)
已知函式.
(ⅰ)求的單調區間;
(ⅱ)是否存在實數,使得函式的極大值等於?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
(19)(本小題滿分13分)
在平面直角座標系中,橢圓的中心為座標原點,左焦點為,為橢圓的上頂點,且.
(ⅰ)求橢圓的標準方程;
(ⅱ)已知直線:與橢圓交於,兩點,直線:()與橢圓交於,兩點,且,如圖所示.
(ⅰ)證明:;
(ⅱ)求四邊形的面積的最大值.
(20)(本小題滿分14分)
對於集合m,定義函式對於兩個集合m,n,定義集合. 已知,.
(ⅰ)寫出和的值,並用列舉法寫出集合;
(ⅱ)用card(m)表示有限集合m所含元素的個數,求的最小值;
(ⅲ)有多少個集合對(p,q),滿足,且?
海淀區高三年級第二學期期中練習
數學(理科)
參***及評分標準2012.04
一. 選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.
二.填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
(9101112
(13)6014) ①③
三.解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
(15)(本小題滿分13分)
解:(ⅰ)因為成等差數列,
所以.因為,所以2分
因為,,,
所以5分
所以或(捨去6分
(ⅱ)因為,
所以10分
因為,所以.
所以當,即時,有最大值.
13分 (16)(本小題滿分14分)
(ⅰ)證明: 因為//,平面,平面,
所以//平面2分
因為平面,平面平面,
所以4分
(ⅱ)證明:因為平面,,所以以為座標原點,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角座標系,
則,,,.
5分所以,,
,所以,
.所以,.
因為,平面,
平面,所以平面
9分(ⅲ)解:設(其中),,直線與平面所成角為.
所以.所以.
所以即.
所以11分
由(ⅱ)知平面的乙個法向量為.
12分因為,
所以.解得.
所以14分
(17)(本小題滿分13分)
解:(ⅰ)由直方圖可得:
.所以2分
(ⅱ)新生上學所需時間不少於1小時的頻率為:
4分因為,
所以600名新生中有72名學生可以申請住宿.
6分(ⅲ)的可能取值為0,1,2,3,47分
由直方圖可知,每位學生上學所需時間少於20分鐘的概率為,
, ,.
所以的分布列為:
12分.(或)
所以的數學期望為113分
(18)(本小題滿分13分)
解:(ⅰ)的定義域為.
,即2分令,解得:或
當時,,故的單調遞增區間是.
3分當時,
,隨的變化情況如下:
所以,函式的單調遞增區間是和,單調遞減區間是.
5分當時,
,隨的變化情況如下:
所以,函式的單調遞增區間是和,單調遞減區間是.
7分(ⅱ)當時,的極大值等於. 理由如下:
當時,無極大值.
當時,的極大值為,
8分令,即解得或(舍).
9分 當時,的極大值為.
10分因為
所以.因為,
所以的極大值不可能等於12分
綜上所述,當時,的極大值等於.
13分 (19)(本小題滿分13分)
(ⅰ)解:設橢圓的標準方程為.
因為,,
所以.所以2分
所以橢圓的標準方程為3分
(ⅱ)設,,,.
(ⅰ)證明:由消去得:.
則,5分
所以.同理7分
因為,所以.
因為,所以9分
(ⅱ)解:由題意得四邊形是平行四邊形,設兩平行線間的距離為,則.
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