長春市普通高中2015屆高三質量監測（二）
數學(理科)參***及評分標準
一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)
1. d 2. a 3. c 4. c 5. d 6. d
7. b 8. b 9. c 11. c 12. a
簡答與提示：
1. 【命題意圖】本題主要考查集合交集與補集的運算，屬於基礎題.
【試題解析】d 由題意可知或，則，所以. 故選d.
2. 【命題意圖】本題考查複數的除法運算，以及復平面上的點與複數的關係，屬於基礎題.
【試題解析】a ，所以其共軛複數為. 故選a.
3. 【命題意圖】本題考查正態分佈的概念，屬於基礎題，要求學生對統計學原理有全面的認識.
【試題解析】c . 故選c.
4. 【命題意圖】本題借助不等式來考查命題邏輯，屬於基礎題.
【試題解析】c 由成立，則，由成立，則，所以成立時是的充要條件.故選c.
5. 【命題意圖】本題主要考查線性規劃，是書中的原題改編，要求學生有一定的運算能力.
【試題解析】d 由題意可知，在處取得最小值，在處取得最大值，即.故選d.
6. 【命題意圖】本題通過正方體的三檢視來考查組合體體積的求法，對學生運算求解能力有一定要求.
【試題解析】d 該幾何體可視為正方體截去兩個三稜錐，所以其體積為. 故選d.
7. 【命題意圖】本題考查向量模的運算.
【試題解析】b . 故選b.
8. 【命題意圖】本題考查學生對莖葉圖的認識，通過統計學知識考查程式流程圖的認識，是一道綜合題.
【試題解析】b 由演算法流程圖可知，其統計的是數學成績大於等於90的人數，所以由莖葉圖知：數學成績大於等於90的人數為10，因此輸出結果為10. 故選b.
9. 【命題意圖】本題主要考查三角函式的影象和性質，屬於基礎題.
【試題解析】c 由題意，將其影象向右平移個單位後解析式為，則，即，所以的最小值為. 故選c.
10. 【命題意圖】本題借助基本不等式考查點到直線的距離，屬於中檔題.
【試題解析】a 由直線與圓相切可知，整理得，由可知，解得. 故選a.
11. 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質，結合著較大的運算量，屬於難題.
【試題解析】c 由題可知，過i、iii象限的漸近線的傾斜角為，則，，因此△的面積可以表示為，解得，則. 故選c.
12. 【命題意圖】本題是最近熱點的複雜數列問題，屬於難題.
【試題解析】a 設，有，，則，
即當時，
所以，即，
所以是以為公比，1為首項的等比數列，
所以，. 故選a.
二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)
13. 60141516.
簡答與提示：
13. 【命題意圖】本題主要考查二項式定理的有關知識，屬於基礎題.
【試題解析】由題意可知常數項為.
14. 【命題意圖】本題考查定積分的幾何意義及微積分基本定理，屬於基礎題.
【試題解析】由題意，所以.
15. 【命題意圖】球的內接幾何體問題是高考熱點問題，本題通過求球的截面面積，對考生的空間想象能力及運算求解能力進行考查，具有一定難度.
【試題解析】由題意，面積最小的截面是以為直徑，可求得，進而截面面積的最小值為.
16. 【命題意圖】本題主要考查數形結合以及函式的零點與交點的相關問題，需要學生對影象進行理解，對學生的能力提出很高要求，屬於難題.
【試題解析】由題意可知是週期為4的偶函式，對稱軸為直線. 若恰有4個零點，有，解得.
三、解答題(本大題必做題5小題，三選一選1小題，共70分)
17. (本小題滿分12分)
【命題意圖】本小題主要考查兩角和的正切公式，以及同角三角函式的應用，並借助正弦定理考查邊角關係的運算，對考生的化歸與轉化能力有較高要求.
【試題解析】解：(13分)
6分)(2)因為，而，且為銳角，可求得9分)
所以在△中，由正弦定理得12分)
18. (本小題滿分12分)
【命題意圖】本小題主要考查統計與概率的相關知識、離散型隨機變數的分布列以及數學期望的求法. 本題主要考查資料處理能力.
【試題解析】(1)由圖可知4分)
(2) 利用分層抽樣從樣本中抽取10人，其中屬於高消費人群的為6人，屬於潛在消費人群的為4人6分)
從中取出三人，並計算三人所獲得代金券的總和，
則的所有可能取值為：150，200，250，300
10分)
且12分)
19. (本小題滿分12分)
【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體涉及到線面以及麵麵的垂直關係、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應用. 本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求.
【試題解析】解：(1) 取中點，鏈結、，
是中點，，
又，，四邊形為平行四邊形
，平面，，
，，平面，
平面，平面平面6分)
(2) 存在符合條件的.以為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角座標系，設，，，
從而，，則平面的法向量為，
又平面即為平面，其法向量，
則，解得或，進而或12分)
20. (本小題滿分12分)
【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法，橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關知識. 本小題對考生的化歸與轉化思想、運算求解能力都有很高要求.
【試題解析】解：(1) 已知，且,，其中為內切圓半徑，化簡得：，頂點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓（去掉長軸端點），其中
進而其方程為5分)
(2)，以下進行證明：
當直線斜率存在時，設直線且，，
聯立可得8分)
由題意：，，.
當直線斜率不存在時，，
綜上可得12分)
21. (本小題滿分12分)
【命題意圖】本小題主要考查函式與導數的綜合應用能力，具體涉及到用導數來描述原函式的單調性、極值以及函式零點的情況. 本小題對考生的邏輯推理能力與運算求解有較高要求.
【試題解析】解：(1) 對求導得：，根據條件知，所以3分)
(2) 由(1)得，
.當時，由於，有，於是在上單調遞增，從而，因此在上單調遞增，即而且僅有；
當時，由於，有，於是在上單調遞減，從而，因此在上單調遞減，即而且僅有；
當時，令，當時，，於是在上單調遞減，從而，因此在上單調遞減，
即而且僅有.
綜上可知，所求實數的取值範圍是8分）
(3) 對要證明的不等式等價變形如下：
所以可以考慮證明：對於任意的正整數，不等式恆成立. 並且繼續作如下等價變形
對於相當於（2）中，情形，有在上單調遞減，即而且僅有.
取，當時，成立；
當時，.
從而對於任意正整數都有成立.
對於相當於（2）中情形，對於任意，恒有而且僅有. 取，得：對於任意正整數都有成立.
因此對於任意正整數，不等式恆成立.
這樣依據不等式，再令利用左邊，令利用右邊，即可得到成立12分
22. (本小題滿分10分)
【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到弦切角定理以及三角形相似等內容. 本小題重點考查考生對平面幾何推理能力.
【試題解析】解：(1) 由題意可知，，，
則△∽△，則，又，則. (5分)
(2) 由，，可得，
在△中，，可知10分)
23. (本小題滿分10分)
【命題意圖】本小題主要考查極座標系與引數方程的相關知識，具體涉及到極座標方程與平面直角座標方程的互化、利用直線的引數方程的幾何意義求解直線與曲線交點的距離等內容. 本小題考查考生的方程思想與數形結合思想，對運算求解能力有一定要求.
【試題解析】解：(1) 對於曲線有，對於曲線有.(5分)
(2) 顯然曲線：為直線，則其引數方程可寫為（為引數）與曲線：聯立，可知，所以與存在兩個交點，
由，，得. (10分)
24. (本小題滿分10分)
【命題意圖】本小題主要考查不等式的相關知識，具體涉及到絕對值不等式及不等式證明等內容. 本小題重點考查考生的化歸與轉化思想.
【試題解析】解：(1) 當時，，
所以的解集為或5分)
(2)，
由恒成立，有，解得
所以的取值範圍是10分)
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