唐山市2017—2018學年度高三年級第三次模擬考試
理科數學參***
一．選擇題：
a卷：cddbb bbacd da
b卷：cadbb bbdcd da
二．填空題：
（13）4 （14）0.8185 （15）(－∞，－1)∪(0，116）[，1)
三．解答題：
17．解：
（1）設數列的公差為d，數列的公比為q，
依題意有，
解得d＝2，q＝24分
故an＝2n－1，bn＝2n6分
（2）由已知c2n－1＝a2n－1＝4n－3，c2n＝b2n＝4n，
所以數列的前2n項和為
s2n＝(a1＋a3＋…a2n－1)＋(b2＋b4＋…b2n)
＝＋＝2n2－n＋(4n－112分
18．解：
（1）兩隊所得分數的莖葉圖如下
通過莖葉圖可以看出，a球隊所得分數的平均值高於b球隊所得分數的平均值；
a球隊所得分數比較集中，b球隊所得分數比較分散6分
（2）記ca1表示事件：「a球隊攻擊能力等級為較強」，
ca2表示事件：「a球隊攻擊能力等級為很強」；
cb1表示事件：「b球隊攻擊能力等級為較弱」，
cb2表示事件：「b球隊攻擊能力等級為較弱或較強」，
則ca1與cb1獨立，ca2與cb2獨立，ca1與ca2互斥，c＝(ca1cb1)∪(ca2cb2)．
p(c)＝p(ca1cb1)+ p(ca2cb2)＝p(ca1)p(cb1)＋p(ca2)p(cb2)．
由所給資料得ca1，ca2，cb1，cb2發生的頻率分別為，，，，故
p(ca1)＝，p(ca2)＝，p(cb1)＝，p(cb2)＝，
p(c)＝×＋×＝0.3112分
19．解：
（1）∵ab∥cd，pc⊥cd，∴ab⊥pc，
∵ab⊥ac，ac∩pc＝c，∴ab⊥平面pac，
∴ab⊥pa，又∵pa⊥ad，ab∩ad＝a，
∴pa⊥平面abcd，pa平面pab，
∴平面pab⊥平面abcd． …5分
（2）連線bd交ae於點o，連線of，
∵e為bc的中點，bc∥ad，
∴＝＝，
∵pd∥平面aef，pd平面pbd，
平面aef∩平面pbd＝of，
∴pd∥of，
7分以ab，ac，ap所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系a－xyz，
則a(0，0，0)，b(3，0，0)，c(0，3，0)，d(－3，3，0)，
p(0，0，3)，e(，，0)，f(2，0，1)，
設平面adf的法向量m＝(x1，y1，z1)，
∵＝(2，0，1)，＝(－3，3，0)，
由·m＝0，·m＝0得取m＝(1，1，－29分
設平面def的法向量n＝(x2，y2，z2)，
∵＝(，－，0)，＝(，－，1)，
由·n＝0，·n＝0得取n＝(1，3，4)． …11分
cosm，n＝＝－，
∵二面角a-df-e為鈍二面角，∴二面角a-df-e的余弦值為－． …12分
20．解：
（1）由已知可得|pd|＝|pe|，|ba|＝|bd|，|ce|＝|ca|，
所以|pb|＋|pc|＝|pd|＋|db|＋|pc|
＝|pe|＋|pc|＋|ab|
＝|ce|＋|ab|
＝|ac|＋|ab|＝4＞|bc|
所以點p的軌跡是以b，c為焦點的橢圓（去掉與x軸的交點），
可求的方程為＋＝1(y≠05分
（2）由o，d，c三點共線及圓的幾何性質，可知pb⊥cd，
又由直線ce，ca為圓o的切線，可知ce＝ca，oa＝oe，
所以△oac≌△oec，進而有∠aco＝∠eco，
所以|pc|＝|bc|＝2，又由橢圓的定義，|pb|＋|pc|＝4，得|pb|＝2，
所以△pbc為等邊三角形，即點p在y軸上，點p的座標為(0，±) …7分
(i)當點p的座標為(0，)時，∠pbc＝60，∠bcd＝30，
此時直線l1的方程為y＝(x＋1)，直線cd的方程為y＝－(x－1)，
由整理得5x2＋8x＝0，得q(－，－)，所以|pq|＝，
由整理得13x2－8x－32＝0，
設m(x1，y1)，n(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝－，
|mn|＝|x1－x2|＝，
所以四邊形mpnq的面積s＝|pq|·|mn11分
(ii)當點p的座標為(0，－)時，由橢圓的對稱性，四邊形mpnq的面積為．
綜上，四邊形mpnq的面積為12分
21．解：
（1）g(a)＝lna2＋－2＝2(lna＋－11分
g(a)＝22分
所以0＜a＜1時，g(a)＜0，g(a)單調遞減；
a＞1時，g(a)＞0，g(a)單調遞增，
所以g(a)的最小值為g(1)＝05分
（2）f(x)＝－＝，x＞0．
因為y＝f(x)有三個不同的零點，所以f(x)至少有三個單調區間，
而方程x2＋(2a2－4a)x＋a4＝0至多有兩個不同正根，
所以，有解得，0＜a＜18分
由（1）得，當x≠1時，g(x)＞0，即lnx＋－1＞0，
所以lnx＞－，則x＞e－(x＞0)，
令x＝，得＞e－．
因為f(e－)＜－＋－2＝－＜0，f(a2)＞0，
f(1)＝－2＝＜0，f(e2)＝＞0，
所以y＝f(x)在(e－，a2)，(a2，1)，(1，e2)內各有乙個零點11分
故所求a的範圍是0＜a＜112分
22．解：
（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得
橢圓c極座標方程為ρ2(cos2θ＋2sin2θ)＝4，即ρ22分
直線l的極座標方程為ρsinθ＝2，即4分
（2）證明：設a(ρa，θ)，b(ρb
由（1）得|oa|2＝ρ＝，|ob|27分
由s△oab＝×|oa|×|ob|＝×|ab|×h可得，
h2＝＝＝29分
故h為定值，且h10分
23．解：
（1）由題意得|x－1|≥|2x－3|,
所以|x－1|2≥|2x－3|22分
整理可得3x2－10x＋8≤0，解得≤x≤2，
故原不等式的解集為{x|≤x≤25分
（2）顯然g(x)＝f(x)＋f(－x)為偶函式，
所以只研究x≥0時g(x)的最大值6分
g(x)＝f(x)＋f(－x)＝|x－1|－|2x－3|＋|x＋1|－|2x＋3|，
所以x≥0時，g(x)＝|x－1|－|2x－3|－x－2
8分所以當x＝時，g(x)取得最大值－3，
故x＝±時，g(x)取得最大值－310分
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