第8章（之1）
第36次作業
教學內容：§8.1.1數列 8.1.2收斂數列
1．選擇題：
***（1）若則，在的鄰域之外，數列中的點
（a）必不存在；
（b）至多只有有限多個；
（c）必定有無窮多個；
（d）可以有有限個，也可以有無窮多個.
解答：（b）.
*（2）設，數列的前項值之和記為，則（ ）
（a） 0； （b）1； （c）1/2； （d）1/3.
解答：（c）.
提示:．2．填空題：
*（1） .
解答： 1/2 .
*（2） .
解答： 3/2 .
*（3）設，則
解答：，.
3．計算下列極限：
*（1）；解：.
**（2）.
解： *（3）（為不等於零的常數）.
解：原式=.
**4. 求極限；
解：首先可求：
.也可直接用公式
.***5. 求極限，（ >0， >0）.
解：原式==.
6．利用夾逼定理計算下列數列的極限：
***（1）；
解：當時，有，即
而 ，
由夾逼定理知：, 即 .
***（2）；
解：記，則
用夾逼定理，並注意到知：
即 .
****（3）.
解：，，使滿足。再注意到：
的週期為，且.
（1）顯見，當時，必有，
而當時，，
從而對（1）式用夾逼定理知.
**7．若，試證明，反之如何？若 a=0 又如何？
證明： ，則，當，有：，
而， 。
若，不能由 ，
反例為， 但不存在．
若，則這由極限定義可得.
第8章（之2）
第37次作業
教學內容：§8.1.3有界數列和單調數列
**1. 設，試證明數列有極限，並求出。
解：由於數列的極限存在與否與該數列的有限項無關，故我們從第10項開始考慮，當
時，， ，
由夾逼定理知，數列存在極限，且.
注：本題也可利用「單調有界數列收斂定理」證明該數列收斂，再計算其極限.
**2. 設，試證明數列收斂，並求其極限.
證明：顯見，且，
，單調下降，且有下界， 存在。設此極限為a，
對兩邊取極限得：， 解得（舍負根）.
所以**3. 證明數列，，，…收斂，並求其極限.
解： =，（n =1，2，…）
利用數學歸納法證明數列有界
當n=1時， =< 2，
假定當n=k時， <2, 則當n=k+1時， ，
（n =1，2，…）
於是數列遞增.
由數列的單調有界收斂準則，得收斂.
設，則由，取，得，解得=2，（ = -1捨去）.
.***4. 已知，求常數與之值.
解：原式=，
[這裡用到了等價無窮小關係式]
僅當時，原極限才存在且等於，
由=1000，得=，從而.
5.利用定積分或廣義積分計算下列極限：
***（1）若在上連續，則根據定積分定義有：
，試用上式求極限
解：原式=。將區間 [0，1] 作n 等分，並取（），
則 ，
其中 ,
則而所以原極限為ln2.
***（2）；
解：原式=
***（3）若將上兩題中閉區間改為或，則某些數列極限可用廣義積分來計算，試求下列極限：
．解： 將（0，1] 區間等分，取（），,
，若記，則原式就等於廣義積分的值, 而，
所以所求極限為2.
***6. 求，使函式在上連續．
解：當時, ，
同理，當，，所以
由於在上連續，則 ，有 ，
同理，由， 有 ，
所以 .
***7. 設函式，討論的間斷點．
解： ，
，，，，，
點是函式的第一類（跳躍型）間斷點.
第8章（之3）
第38次作業
教學內容：§8.2.1無窮級數的基本概念 §8.2.2收斂級數的基本性質
1． 選擇題：
*（1）若級數的部分和，其一般項是 （ ）
（a）； （b）； （c）； （d）．
答：( d )
*（2）設級數收斂，其和為，則級數收斂於 （ ）
（a）； （b）； （c）； （d）．
答：（ b ）
*（3）若級數收斂，其和，則下述結論成立的是
（a）收斂；（b）收斂；（c）收斂；（d）收斂．
答：（ c ）
**（4）指出下列命題中之正確者為
（a）若，則收斂； （b）若，則收斂；
（c）若收斂，則； （d）若發散，則．
答：（ c ）
*2．若，則級數之和為 ．
答**3．設單調減少，且收斂於0，問級數是否收斂？
答：不一定收斂。例如都單調減少而收斂於0，但發散，
而級數收斂．
4．利用定義判斷下列級數的斂散性，若收斂則求其和：
*（1）；
解：級數的部分和
所以，故級數為發散
*（2）．
解：級數的一般項
級數部分和
所以，此即級數收斂，且其和為．
5．判斷下列級數的斂散性：
**（1）；
解：，因
故，所以發散．
**（2）；
解：記，由於，故發散．
**（3）．
解：發散．
**6．求級數之和．
解：已知
又 ，可得的部分和
從而， 因此原級數收斂，且
第8章（之4）
第39次作業
教學內容：§8.2.3正項級數的性質及其斂散性的判斂法
1． 選擇題：
*（1）下列級數中，發散的是
（a）； （b）； （c）； （d）．
答：（ b ）
*（2）下列級數中，收斂的是
（a）；
（b）；
（c）；
（d）．
答：（ d ）
*（3）下列級數中，發散的是
（a）；
（b）；
（c）；
（d）．
答：（ d ）
2. 判斷下列級數的斂散性：
*（1）；
解：由於， 而發散，
所以發散．
*（2）；
解：由於 ，
故由比值判斷法知收斂．
*（3）．
解： ，
由根值判斷法知級數收斂．
**（4）；
解：由比值判別法
可見當時，級數收斂；當時，級數發散
*（5）；
解：記，則 ,
而收斂，因此收斂．
*（6）；
解一：, 而收斂故原級數收斂
解二： ,
由於 ，故而級數收斂．
**（7）；
解：記，則 ，
而發散，故所論級數發散．
**（8）；
解：由於，而收斂，
所以原級數也收斂．
**（9）；
解：， 而發散， 故級數也發散．
**（10）；解所以
又發散, 故發散
***3．利用級數理論，證明時，是比高階的無窮小．
證明：先判斷級數的斂散性，由於 ,
所以，級數收斂，於是有上式又可變為 ,
故當時，是比高階的無窮小．
***4．將方程的正根按遞增次序排列，得數列，試證明級數收斂，
而級數卻發散．
證明：設
則在上嚴格單調，
又因則在內有且僅有乙個實根．
又因為上的乙個根， 所以最小正根在上，
從而必有 ，
所以，而收斂，故收斂。
又，而發散，故發散．
***5．若數列為單增有界的正項數列，試證明級數收斂．
證明：首先我們知道級數收斂，
事實上，級數的部分和為，
所以以上結論顯然成立。
設的界為，即任何有，
由於故有收斂．
第8章（之5）
第40次作業
教學內容： §8.2.4任意項級數的絕對收斂和條件收斂 §8.2.5交錯級數 §8.3.1函式項級數的一般概念
1． 選擇題：
*（1） 若級數收斂，則
（a）收斂；（b）收斂；（c）收斂；（d）收斂．
答：（ a ）
*（2）當級數收斂時，級數
（a）必絕對收斂； （b）必發散；
（c）部分和序列有界； （d）可能收斂也可能發散．
答：（ d ）
*（3）若級數和都發散，則下列級數中必發散的是
（a）； （b）；
（cd）．
答：（d）
*（4）設為常數，則級數
（a）絕對收斂； （b）條件收斂；
（c）發散d）斂散性與取值有關．
答：（ c ）
2. 判斷下列級數是絕對收斂、條件收斂還是發散？
**（1）；
解：記則
故原級數絕對收斂
**（2） ；
解：記 ，因為，且，
所以原級數收斂
由於 ，
故發散，因此原級數條件收斂
**（3）；
解：設 ，
時，，而當時，為單調遞減數列，且，
故級數收斂．
另一方面 ，而發散。
綜合以上討論知，級數條件收斂．
**（4）；
解：記， 則 ，
當時，，即單調遞減．
故當時，數列單調遞減。
且， 所以級數收斂。
顯見此級數不絕對收斂，故級數條件收斂。
3．***（1）若是收斂的正項級數，試證一定收斂。
證明：因為為收斂的正項級數， 則 ，
所以，當時，有，
則 ，
從而由比較判別法知收斂。
***（2）若級數收斂，一定收斂嗎？
解：不一定。反例收斂，但發散。
***（3）若級數收斂，一定收斂嗎？
解：不一定。反例收斂(萊布尼茲型級數)，但發散。
***（4）設都是收斂的正項級數，試證明級數必收斂。
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