第7章定積分的應用與廣義積分
一、定積分應用主要掌握幾何應用與物理應用及部分經濟應用。
1．幾何應用
（1） 平面圖形的面積
(i) 直角座標系下圖形的面積
(ii)極座標系下平面圖形的面積
（2） 平面曲線的弧長
直角座標曲線
引數式曲線
極座標曲線
(3) 立體體積
(i) 平行截面面積為已知的立體體積
(ii) 旋轉體體積公式(以繞軸旋轉所得的旋轉體為例, 類似可得繞軸旋轉所得的旋轉體體積公式)
2．物理應用
（1） 變力所做的功
物體在力作用下沿直線由到力做功
（2） 液體的側壓力
由巴斯卡原理知，在液面下深度為處的表面積為的面上所受到的液體壓力為,其中為液體的密度。
3．經濟應用
在已知某經濟函式的變化率或邊際函式時，求總量函式或總量函式在一定範圍的增量可用定積分。
例總成本
總收益與邊際收益的關係
二、廣義積分
定義1：設函式在上連續，稱
＝為在上的廣義積分.當極限存在時,稱此廣義積分收斂,否則稱此廣義積分發散.
設函式在上連續， 稱
＝為在上的廣義積分, 當極限存在時,稱此廣義積分收斂,否則稱此廣義積分發散.
設函式在上連續，是任一實數, 稱
為在上的廣義積分, 當和都收斂時,稱此廣義積分收斂,否則稱此廣義積分發散.
定義2：設函式在上連續且是其奇點，稱
＝為在上的廣義積分.當極限存在時,稱此廣義積分收斂,否則稱此廣義積分發散.
設函式在上連續且是其奇點，稱
＝為在上的廣義積分.當極限存在時,稱此廣義積分收斂,否則稱此廣義積分發散.
第7章定積分的應用與廣義積分
一、定積分的應用關鍵在於微元法
若所求量依賴於某區間以及在此區間上變化的某函式,並且具有可加性，即總量可分為區域性量之和，則的值可通過定積分的計算來完成。
微元法解題步驟：
在的任一子區間上寫出
（這一步往往是以「去彎取直，以不變代變」的思想獲得，確切地說，是寫出）
於是從而有
具體步驟是：（1）建立座標系；（2）建立微元；
（3）確定上、下限；（4）計算定積分。
二、廣義積分
有的題目同時涉及廣義積分的兩種情況，要分開討論。
例：所以
若其中之一是發散的，這廣義積分即為發散。
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