第一章函式、極限和連續
§1.1 函式
一、 主要內容
㈠ 函式的概念
1. 函式的定義: y=f(x), x∈d定義域: d(f), 值域: z(f).
2.分段函式:
3.隱函式: f(x,y)= 0
4.反函式: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)y=f-1 (x)
定理:如果函式: y=f(x), d(f)=x, z(f)=y是嚴格單調增加(或減少)的；
則它必定存在反函式：
y=f-1(x), d(f-1)=y, z(f-1)=x且也是嚴格單調增加(或減少)的。
㈡ 函式的幾何特性
1.函式的單調性: y=f(x),x∈d,x1、x2∈d當x1＜x2時,若f(x1)≤f(x2),則稱f(x)在d內單調增加( )；
若f(x1)≥f(x2),則稱f(x)在d內單調減少( )；
若f(x1)＜f(x2),則稱f(x)在d內嚴格單調增加( )；
若f(x1)＞f(x2),則稱f(x)在d內嚴格單調減少( )。
2.函式的奇偶性：d(f)關於原點對稱
偶函式：f(-x)=f(x)
奇函式：f(-x)=-f(x)
3.函式的週期性：
週期函式：f(x+t)=f(x), x∈(-∞，+∞)週期：t——最小的正數
4.函式的有界性： |f(x)|≤m , x∈(a,b)㈢ 基本初等函式
1.常數函式： y=c ， (c為常數)2.
冪函式： y=xn , (n為實數)3.指數函式：
y=ax , (a＞0、a≠1)4.對數函式： y=loga x ,(a＞0、a≠1)5.
三角函式： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x
y=sec x , y=csc x
6.反三角函式：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x㈣ 復合函式和初等函式
1. 復合函式： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x∈x
2.初等函式:
由基本初等函式經過有限次的四則運算（加、減、乘、除）和復合所構成的，並且能用乙個數學式子表示的函式。
二、 例題分析
例1. 求下列函式的定義域：
⑴ 解:對於有: ≠0 解得: ≠±1對於有≥02∴ 的定義域:
⑵ 解: 由得： ，解得:
由得： ＞0,＜2
∴ 的定義域:
例2.設f(x)的定義域為（-1，1）
則f(x+1) 的定義域為
a.(-2,0), b.(-1,1), c.(0,2), d.[0,2] [ ]
解：∵-1＜x+1＜1 ∴ -2＜x＜0即f(x+1) 的定義域為: x∈(-2,0),應選a.
例3.下列f(x)與g(x)是相同函式的為a. ,
b. ，
c. ，
解：a. ，
b. ，
應選bc. ，
d. ，
例4.求，
的反函式及其定義域。
解：∵，
∴，∵在(-3,+∞)內，函式是嚴格單調的∴反函式：
例5.設
則其反函式
解：∵ 在..內是嚴格單調增加的
∴ 又∵ ∴取
即：（應填）
例6.設函式和是定義在
同一區間上的兩個偶函式，
則為函式。
解：設∵∴是偶函式（應填「偶」）
例7. 判斷的奇偶性。
解: ∵
∴為奇函式
例8.設 ，
則的週期為 。
解法一: 設的週期為t,
∴ 而解法二：
應填)例9. 指出函式那是由些簡
單函式復合而成的？
解：令 ， 則
則 ， 則
∴是由：，，，復合而成的。
例10. 已知,則等於
a. , b. , c. , d. [ ]解: ∵
∴或 （應選a）
例11. 已知
求的表示式。
解:∵解得
∴§1.2 極限
一、 主要內容
㈠極限的概念
1. 數列的極限:
稱數列以常數a為極限;
或稱數列收斂於a.
定理: 若的極限存在必定有界.
2.函式的極限：
⑴當時，的極限：
⑵當時，的極限：
左極限：
右極限：
⑶函式極限存的充要條件：
定理：㈡無窮大量和無窮小量
1． 無窮大量：
稱在該變化過程中為無窮大量。
x再某個變化過程是指：
2． 無窮小量：
稱在該變化過程中為無窮小量。
3． 無窮大量與無窮小量的關係：
定理：4． 無窮小量的比較：
⑴若,則稱β是比α較高階的無窮小量；
⑵若 （c為常數），則稱β與α同階的無窮小量；
⑶若，則稱β與α是等價的無窮小量，記作：β～α；
⑷若,則稱β是比α較低階的無窮小量。
定理：若：
則：㈢兩面夾定理
1． 數列極限存在的判定準則：
設： （n=1、2、3…）
且：則：
2． 函式極限存在的判定準則：
設：對於點x0的某個鄰域內的一切點
（點x0除外）有：
且： 則：
㈣極限的運算規則
若：則：①
②③推論：①
②③㈤兩個重要極限
1． 或
2．二、 例題分析
例1． 求數列的極限。
解： 例2．計算
解：∵∴
誤解：=0例3． 下列極限存在的是
a. b.
c. d
解：a.
b.∴ 不存在
c應選c
d.∴ 不存在
例4.當時，與是等價無窮小量，
則 。
解：∵∴ (應填2)
例5.計算 (n=1,2,3,……)
解: ∵
n=2,3,……)
∴ 又:
由兩面夾定理可得:
∴例6.計算下列極限
⑴ 解:
⑵ 解:
⑶解法一: 共軛法
解法二： 變數替換法
設：當時，
⑷ 解法一：共軛法
解法二：變數替換法
設： 當時，
⑸ 解法一：
解法二：∵
⑹ 解：設：
當時，結論：
⑺ 解法一：∵∴∴
又解法二：∵
解法三：應用羅必塔法則
⑻ 解法一：
解法二： 設
當時，解法三：
例7.當時，若與為等價無窮小量，
則必有 。
解：∵∴
應填）結論：
例8.若，則 。
解：應填）
例9.已知，求的值。
解：∵∴
∴ ∴由
∴當時，原式成立。
例10.證明：當時，與是等價
無窮小量。
證：只要證明成立，即可。
設：當時，
∴結論：
§1.3 連續
一、 主要內容
㈠ 函式的連續性
1. 函式在處連續：在的鄰域內有定義，
1o2o
左連續：
右連續：
2. 函式在處連續的必要條件：
定理：在處連續在處極限存在
3. 函式在處連續的充要條件：
定理：4. 函式在上連續：
在上每一點都連續。
在端點和連續是指：
左端點右連續；
右端點左連續。
a+ 0 b- x
5. 函式的間斷點：
若在處不連續，則為的間斷點。
間斷點有三種情況：
1o在處無定義；
2o不存在；
3o在處有定義，且存在，
但。兩類間斷點的判斷：
1o第一類間斷點：
特點：和都存在。
可去間斷點：存在，但
，或在處無定義。
2o第二類間斷點：
特點：和至少有乙個為∞，
或振盪不存在。
無窮間斷點：和至少有乙個為∞
㈡函式在處連續的性質
1. 連續函式的四則運算：
設，1o
2o3o
2. 復合函式的連續性：
則：3. 反函式的連續性：
㈢函式在上連續的性質
1.最大值與最小值定理：
在上連續在上一定存在最大值與最小值。
+mmf(xf(x)
0 ab x
m -m
0 abx
2. 有界定理：
在上連續在上一定有界。
3.介值定理：
在上連續在內至少存在一點
使得：，
其中： yy
mf(x)
cf(x)
專公升本高數複習
第一章極限和連續 第一節極限 複習考試要求 1.了解極限的概念 對極限定義等形式的描述不作要求 會求函式在一點處的左極限與右極限，了解函式在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。3.理解無窮小量 無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質 無窮小量與無窮大量的關係。會...
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