第9章微分方程
內容提要
一.基本概念
1.微分方程:表示未知函式及其導數與自變數之間的關係的方程,稱為微分方程.
2.微分方程的階:微分方程中未知函式的最高端導數的階數,稱為微分方程的階.
3.微分方程的解:代入微分方程能使其兩端成為恒等式的函式,稱為微分方程的解(這個函式的圖形,稱為該微分方程的積分曲線).
4.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有獨立的任意常數,且任意常數的個數與微分方程的階數相同,那麼這樣的解稱為微分方程的通解.
5.微分方程的初始條件:確定通解中任意常數的條件,稱為微分方程的初始條件.
6.微分方程的特解:不含有任意常數的微分方程的解,稱為微分方程的特解.
二.微分方程的型別及其解法
1.一階微分方程
2.高階微分方程
(1)可降階的高階微分方程.
(2)二階線性微分方程的解結構
記二階線性微分方程(1)
對應的齊次方程為(2)
若為(1)的乙個特解,為(2)的兩個線性無關的特解,則
為(2)的通解
為(1)的通解.
注:對於階線性微分方程的解結構也有類似結論.
(3)二階常係數線性齊次微分方程的解法
(3)首先寫出對應於該方程的特徵方程
解此方程，求出兩特徵值,根據的不同情形按下錶寫出通解.
(4) 階常係數線性齊次微分方程的解法
以上結論可推廣至階常係數線性齊次微分方程
(4)其中為常數.
根據特徵方程
的根的四種情況,分別寫出對應的解：
a) 為特徵方程的單重實根,(4)有相應的乙個解
b) 為特徵方程的重實根, (4)有相應的個解
c) 為特徵方程的單重複根,(4)有相應的兩個解
d) 為特徵方程的重共軛復根,(4)有相應的2個解
若記以上求出的個解為,則（4）的通解就是
(5)二階常係數線性非齊次微分方程的解法
(5)其中為常數. 方程(5)的解法:首先求出(5)對應的齊次方程(3)的通解,再求出(5)的乙個特解,則(5)的通解為
而的求法如下:
當為某些特殊型別函式時,用待定係數法求.
a) ,其中為常數,為的次多項式
則可設(5)的特解為(6)
其中為與同次的多項式.將(6)代入(5)比較係數可求出,從而求出.
b) 其中均為常數, 分別為次, 次多項式.
則(5)的特解可設為
(7)其中
為次多項式,
將(7)代入(5)比較同類項係數可求出,從而求出.
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