北京市朝陽區高三統一練習㈠
數學理科答案2009.4
一、選擇題:
二、填空題:
(910) 10511) 912) 相交
(1314) 6, .
三、解答題:
(15) 解:（ⅰ）因為
， 所以, 函式的最小正週期為2．
由，得.
故函式圖象的對稱軸方程為8分
（ⅱ）因為，所以．
所以.所以函式的值域為13分
(16) 解：（ⅰ）設「所選用的兩種不同的新增劑的芳香度之和為3」為事件a，則
答：所選用的兩種不同的新增劑的芳香度之和為3的概率是 ……4分
（ⅱ）設「所選用的兩種不同的新增劑的芳香度之和為偶數」為事件b，
兩種新增劑的芳香度之和為偶數有三種可能：芳香度為1和3，芳香度為2和2，芳香度為3和3，其中芳香度為1和3的概率為
芳香度為2和2的概率為
芳香度為3和3的概率為
所以答：所選用的兩種不同的新增劑的芳香度之和為偶數的概率是 ……………9分
（ⅲ）的可能取值為3，4，5，6，且
所以的分布列為
所以13分
(17) 解法一：
（ⅰ）證明：因為，
是的中點，所以.
由已知，三稜柱是直三稜柱，
所以平面平面.
所以平面.
又因為平面,
所以5分
（ⅱ）解：由（1）知平面.
過作，垂足為,鏈結.
由三垂線定理可知，
所以是二面角的平面角.
由已知可求得，, 所以.
所以二面角的大小為.
由於二面角與二面角的大小互補，
所以二面角的大小為10分
（ⅲ）過d作,垂足為,鏈結.
由（ⅱ）可證得平面,所以,可證得平面.
所以,為直線與平面所成的角.
在直角三角形中，可知，所以.
在直角三角形中，可知=.
在直角三角形中， =.
所以直線與平面所成角的正弦值為14分
解法二：
以的中點為原點，先證明平面，建立空間直角座標系（如圖）.由已知可得
、、、、、.
（ⅰ）證明：，.
因為，所以5分
（ⅱ）解：.
設平面的乙個法向量為，
由得解得所以.
又知，平面，所以為平面的法向量.
因為,所以
由圖可知，二面角大於90，
所以二面角的大小為10分
（ⅲ）由（ⅱ）可知平面的乙個法向量,
又.所以.因為直線與平面所成角為,
所以直線與平面所成角的正弦值為14分
(18) 解：(ⅰ)函式的定義域是．
函式的導數是.
令,即,解得,所以函式的遞增區間是;
令,即,解得,所以函式的遞減區間是.
6分 (ⅱ)設，則切線的斜率，
則切線的方程是，
設切線與軸、軸的交點為、，
令，由題意可知，解得，所以；
令，解得，所以，
所以，當且僅當，即時，△面積的最小值為2.
此時,點的座標是13分
(可求導或用二次函式求得的最大值)
(19) 解：（ⅰ）因為成等差數列，點的座標分別為
所以且由橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點長軸為4的橢圓（去掉長軸的端點），
所以．故頂點的軌跡方程為．………………4分
（ⅱ）由題意可知直線的斜率存在，設直線方程為．由得，
設兩點座標分別為，
則，，所以線段中點的座標為,
故垂直平分線的方程為，
令，得與軸交點的橫座標為，
由得，解得，
又因為，所以．
當時，有，此時函式遞減，
所以．所以，．
故直線與軸交點的橫座標的範圍是13分
(20) 解：（ⅰ）已知式即，故．
因為，當然，所以．
由於，且，故．
於是，，
所以4分
（ⅱ）由，得，
故．從而．因此．
設，則，
故，注意到，所以．
特別地，從而．
所以9分
（ⅲ）易得．
注意到，則有，
即， 整理得
當時，由① 得．
因為，所以．
當時，由① 得
因為，故②式右邊必是3的倍數，而左邊不是3的倍數，所以②式不成立，
即當時，不存在，使得①式成立．
綜上所述，存在正整數，使得
成立．………………14分
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