高三數學（文科）2011.03
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的四個選項中，
選出符合題目要求的一項.
1. 已知全集,集合，，則
ab. c. d.
2. 「」是「」的
a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件 d. 既不充分也不必要的條件
3.是數列的前項和，， 則
abcd.
4. 已知平面區域，,若向內隨機投擲一點，則落在內的概率為
a. b. c. d.
5. 右圖是乙個三稜錐的直觀圖和三檢視，
其三檢視均為直角△，則
a. b. c. d.
6.是座標原點, 向量，，若，則
abcd.
7. 已知函式，，若方程有三個不同的實數根，且三個根從小到大依次成等比數列，則的值是
abcd.
8. 設函式的定義域為，如果對於任意的，存在乙個，使得（為常數）成立，則稱函式在上「與常數關聯」，現有函式， ， ， ， ，則其中滿足在其定義域上與常數關聯的所有函式是
a. b. c. d.
二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分。
9. 已知為實數，且，則 .
10. 圓心在原點且與直線相切的圓的方程是
11. 右圖所示程式框圖執行後輸出的值為
12. 統計某校名學生的數學會考成績，得到樣本頻率分布的直方圖如右圖所示，規定不低
於分為及格，不低於分為優秀，則及格人數是優秀率為
13. 如圖，為了測量塔的高度，先在塔外選擇和塔腳在一條水平直線上的三點
、、，測得仰角分別為、、，，
，則 ，塔高 .
14. 橢圓的方程為，、分別為的左、右焦點，是上的任意一點，給出下列結論：
有最大值， 有最大值， 有最大值， 有最大值，其中正確結論的序號是
三、解答題：本大題共6個小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
15. (本小題13分)
已知（ⅰ）如果，求的值
（ⅱ）如果，設，求的最大值和最小值
16. (本小題13分)
如圖，在四稜錐中，底面為直角梯形，，
, ,且三角形為等腰，.
（ⅰ）求證
（ⅱ）線段上是否存在點，使得平面?
並說明理由.
17. (本小題13分)
已知等差數列中，，
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）若數列滿足，設，且，求
18. (本小題14分)
已知函式
（ⅰ）若，求函式的單調區間；
（ⅱ）若有極大值，求實數的值.
19. (本小題14分)
已知橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，它的乙個頂點的座標為，離心率.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）是否存在直線與橢圓交於、兩點，
且橢圓的右焦點恰為的垂心（三條
高所在直線的交點），若存在，求出直線的方程，
若不存在，請說明理由.
20. (本小題13分)
對於數列，如果存在乙個數列，使得對於任意的，都有，則把叫做的「基數列」.
（ⅰ）設, 求證：數列沒有等差基數列；
（ⅱ）設，，, 且是的基數列，求的取值範圍；
（ⅲ）設，，，求證是的基數列.
高三數學（文科）試題參***及評分標準
一、選擇題：
二、填空題：9. 10. 11. 12.
13.公尺 14.
三、解答題：
15. 解2分
4分6分
7分8分
10分12分
13分16. （ⅰ）鏈結, ∵，且
是等邊三角形1分
設是的中點，鏈結，，則， ……… 2分
∵是等腰三角形3分
∵， ∴平面5分
∵平面6分
（ⅱ）設為的中點，連，又設是的中點, 連
8分9分
∴是平行四邊形10分
∵平面, 平面
∴平面12分
∴ 當為的中點時，平面13分
17. 解： （ⅰ）由已知得2分
解得4分
∴為所求6分7分設
則9分11分即 ∴為所求。 …………………13分
18.（ⅰ），
……2分
（1）時，令，得，或，
令，得3分
∴在區間上增，在區間上減，在區間上增，
5分（2）時，令，得
令，得，或6分
∴在區間上減，在區間上增，在區間上減，
8分（ⅱ）（1）時，，此時無極值9分
（2）時，的極大值為
令，得11分
（3）時，的極大值為
令，得13分
綜上： 或14分
19．（ⅰ）設橢圓方程為1分
∵ 拋物線的焦點座標為2分
由已知得3分
解得4分
∴ 橢圓方程為5分
（ⅱ）設，∴
∵是垂心，∴
∴ 設的方程為7分
代入橢圓方程後整理得8分
9分將代入橢圓方程後整理得：
10分∵是垂心，∴，
11分整理得：
12分∴或（舍） ∴存在直線，其方程為使題設成立。
13分20．（ⅰ）假設數列（）存在等差基數列，且，（是實常數），則對於任意的均成立，即對於任意的均成立，與二次函式的影象和性質相矛盾，所以，假設不成立，所以不存在等差基數列3分
（ⅱ），
∵是的基數列， ∴任意的均成立，
令（1）當時，即：時，題設成立，
（2）當時，即：時，，即二次函式的對稱軸在的左端，此時，題設成立的等價條件是即：，
即， 解得或， ∴ ，
由（1）（2）可知，的取值範圍是8分
（ⅲ）設，，，求證是的基數列.
是的基數列
…①① 式的證明可採用以下方法（步驟略）：
法一：做差法； 法二：導數法； 法三：二項式法； 法四：數學歸納法。13分
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