1. （朝陽理19）
已知，為橢圓的左、右頂點，為其右焦點，是橢圓上異於，的動點，且面積的最大值為．
（ⅰ）求橢圓的方程及離心率；
（ⅱ）直線與橢圓在點處的切線交於點，當直線繞點轉動時，試判斷以
為直徑的圓與直線的位置關係，並加以證明．
解：（ⅰ）由題意可設橢圓的方程為，．
由題意知解得，．
故橢圓的方程為，離心率為．……6分
（ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．
證明如下：由題意可設直線的方程為.
則點座標為，中點的座標為．
由得．設點的座標為，則．
所以10分
因為點座標為，
當時，點的座標為，點的座標為.
直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切．
當時，則直線的斜率.
所以直線的方程為．
點到直線的距離．
又因為，所以．
故以為直徑的圓與直線相切．
綜上得，當直線繞點轉動時，以為直徑的圓與直線相切．………14分
2. （朝陽文19）
已知，為橢圓的左右頂點，為其右焦點．
（ⅰ）求橢圓的標準方程及離心率；
（ⅱ）過點的直線與橢圓的另乙個交點為（不同於，），與橢圓在點處的切線交於點．當直線繞點轉動時，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關係，並加以證明．
解：（ⅰ）由題意可設橢圓的方程為，半焦距為，
因為、為橢圓的左、右頂點，為其右焦點，
所以，．
又因為，所以．
故橢圓的方程為，離心率為．……5分
（ⅱ）以為直徑的圓與直線相切. 證明如下：
由題意可設直線的方程為，
則點座標為，中點的座標為．
由得．設點的座標為，則．
所以，．
因為點座標為，
當時，點的座標為，點的座標為，
直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切．
當時，則直線的斜率.
所以直線的方程為．
點到直線的距離．
又因為所以．
故以為直徑的圓與直線相切．
綜上得，當直線繞點轉動時，以為直徑的圓與直線相切．………14分
3. （豐台理19）
已知點，，動點p滿足，記動點p的軌跡為w．
（ⅰ）求w的方程；
（ⅱ）直線與曲線w交於不同的兩點c，d，若存在點，使得成立，求實數m的取值範圍．
解：（ⅰ）由橢圓的定義可知，動點p的軌跡是以a，b為焦點，長軸長為的橢圓．
w的方程是．…………………4分
（ⅱ）設c，d兩點座標分別為、，c，d中點為．
當時，顯然；
當時，由得．
所以， ∴，
從而．∴斜率． 又∵，
∴，∴ 即．
故所求的取範圍是14分
4. （豐台文18）
已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為座標軸，且經過點．
(ⅰ)求橢圓的方程；
(ⅱ)直線與橢圓相交於a，b兩點，在上存在一點，上存在一點，使得，若原點在以為直徑的圓上，求直線斜率的值．
解：(ⅰ) 依題意，可設橢圓的方程為．
∵ 橢圓經過點， ∴ 橢圓的方程為5分
(ⅱ) 記兩點座標分別為，，
消y，得
∵ 直線與橢圓有兩個交點，
由韋達定理，．
∵ 原點在以為直徑的圓上，∴，即．
∵，在上，在上
又，，∴
．14分
5. （門頭溝理19）
如圖：平行四邊形的周長為8，點的座標分別為．
（ⅰ）求點所在的曲線方程；
（ⅱ）過點的直線與(ⅰ)中曲線交於點，與y
軸交於點，且//，
求證：為定值．
解：（ⅰ）因為四邊形是平行四邊形,周長為8
所以兩點到的距離之和均為4,可知所求曲線為橢圓1分
由橢圓定義可知
所求曲線方程為4分
（ⅱ）由已知可知直線的斜率存在，又直線過點
設直線的方程為5分
代入曲線方程，並整理得
點在曲線上,所以8分
9分因為//,
所以設的方程為10分
代入曲線方程，並整理得
所以11分
所以：為定值13分
6. （門頭溝文18）
已知雙曲線=1(b∈n*)的兩個為焦點f、f，p是雙曲線上的一點，且滿足，
（）求的值；
（）拋物線的焦點f與該雙曲線的右頂點重合，斜率為1的直線經過點f與該拋物線交於a、b兩點，求弦長|ab|.
解 （）根據題意2分，
又，，，又|p f||pf|=| ff|=， |p f|<4， 得
在區間（0,4）上有解， 所以…………4分
因此，又，所以6分
（）雙曲線方程為=1，右頂點座標為（2,0），即7分
所以拋物線方程為直線方程為…………9分
由（1）（2）兩式聯立，解得和 …………11分
所以弦長|ab|==1614分
7. （石景山理19）
已知橢圓經過點，離心率為，動點
（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）求以om為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；
（ⅲ）設f是橢圓的右焦點，過點f作om的垂線與以om為直徑的圓交於點n，證明線段on的長為定值，並求出這個定值．
8. （石景山文19）
已知橢圓經過點，離心率為，動點
（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）求以om為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；
（ⅲ）設f是橢圓的右焦點，過點f作om的垂線與以om為直徑的圓交於點n，證明線段on的長為定值，並求出這個定值．
9. （延慶理19）
已知橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，它的乙個頂點與拋物線的焦點重合，離心率.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）是否存在直線與橢圓交於、兩點，
且橢圓的右焦點恰為的垂心（三條
高所在直線的交點），若存在，求出直線的方程，
若不存在，請說明理由.
（ⅰ）設橢圓方程為1分
∵ 拋物線的焦點座標為2分
由已知得3分
解得4分
∴ 橢圓方程為5分
（ⅱ）設，∴
∵是垂心，∴
∴ 設的方程為7分
代入橢圓方程後整理得8分
9分將代入橢圓方程後整理得：
10分∵是垂心，∴，
11分整理得：
12分∴或（舍）
∴存在直線，其方程為使題設成立13分
10. （延慶文19）
已知橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，它的乙個頂點的座標為，離心率.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）是否存在直線與橢圓交於、兩點，
且橢圓的右焦點恰為的垂心（三條
高所在直線的交點），若存在，求出直線的方程，
若不存在，請說明理由.
（ⅰ）設橢圓方程為1分
∵ 拋物線的焦點座標為2分
由已知得3分
解得4分
∴ 橢圓方程為5分
（ⅱ）設，∴
∵是垂心，∴
∴ 設的方程為7分
代入橢圓方程後整理得8分
9分將代入橢圓方程後整理得：
10分∵是垂心，∴，
11分整理得：
12分∴或（舍） ∴存在直線，其方程為使題設成立。
13分11. （海淀理19）
已知橢圓經過點其離心率為.
（ⅰ）求橢圓的方程；
(ⅱ)設直線與橢圓相交於a、b兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形oapb，其中頂點p在橢圓上，為座標原點.求的取值範圍.
解：（ⅰ）由已知可得，所以1分
又點在橢圓上，所以2分
由①②解之，得
故橢圓的方程為5分
(ⅱ) 當時，在橢圓上，解得，所以. ……6分
當時，則由
消化簡整理得：，
8分設點的座標分別為，則
. ………9分
由於點在橢圓上，所以10分
從而，化簡得，經檢驗滿足③式. ………11分
又12分 因為，得，有，
故13分
綜上，所求的取值範圍是14分
(ⅱ)另解：設點的座標分別為，
由在橢圓上，可得6分
—整理得7分
由已知可得，所以8分
由已知當,即9分
把代入整理得10分
與聯立消整理得11分
由得，所以 ……………12分
因為，得，有，
故13分
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