幾何證明
東城區19. 如圖，在△abc中，∠bac=90°，ad⊥bc於點d. bf平分∠abc交ad於點e，交ac於點f. 求證：ae=af.
19.證明： ∵∠bac=90°，
∴∠fba+∠afb=901分
∵ad⊥bc，
∴∠dbe+∠deb=902分
∵be平分∠abc,
∴∠dbe=∠fba3分
∴∠afb=∠deb4分
∵∠deb=∠fea，
∴∠afb=∠fea.
∴ae=af5分
西城區19．如圖，平分，於點，的中點為，．
（1）求證：．
（2）點**段上運動，當時，圖中與全等的三角形是
【解析】（1）證明：∵平分，
∴，∵於點，
∴，∴為直角三角形．
∵的中點為，
∴，，∴，
∴，∴，
∴．（2）．
海淀區 19．如圖，△中，，為的中點，連線，過點作的平行線，求證：平分．
19. 證明：∵，為的中點，
∴.∵，
∴平分豐台區
19．如圖，在△abc中，ab = ac，d是bc邊上的中點，de⊥ab於點e，df⊥ac於點f．
求證：de = df．
19．證明：連線ad.
∵ab＝bc，d是bc邊上的中點，
∴∠bad=∠cad3分
∵de⊥ab於點e，df⊥ac於點f，
∴de＝df5分
（其他證法相應給分）
石景山區
19．問題:將菱形的面積五等分．
小紅發現只要將菱形周長五等分，再將各分點與菱形的對角線交點連線即可解決問題．如圖，點是菱形的對角線交點，，下面是小紅將菱形面積五等分的操作與證明思路，請補充完整.
（1）在邊上取點，使，連線，；
（2）在邊上取點，使 ，連線；
（3）在邊上取點，使 ，連線；
（4）在邊上取點，使 ，連線．
由於可證s△aoes△hoa.
19．解：3，2，12分
eb、bf；fc、cg；gd、dh；ha4分
朝陽區19. 如圖，在△acb中，ac=bc，ad為△acb的高線，ce為△acb的中線.
求證：∠dab=∠ace.
19. 證明：∵ac＝bc，ce為△acb的中線，
∴∠cab＝∠b，ce⊥ab2分
∴∠cab＋∠ace＝903分
∵ad為△acb的高線，
∴∠d＝90°.
∴∠dab＋∠b＝904分
∴∠dab＝∠ace5分
燕山區19．文藝復興時期，義大利藝術大師達．芬奇研究過用圓弧圍成的部分圖形的面積問題。已知正方形的邊長是2，就能求出圖中陰影部分的面積．
證明：=2
19== 25′
門頭溝區
19．如圖，在△abc中，ad是bc邊上的高，be平分∠abc交ac邊於e，∠bac＝60°，∠abe＝25°.
求∠dac的度數.
19.解 （本小題滿分5分）∵be平分∠abc，
∴∠abc=2∠abe=2×25°=50°， ………2分
∵ad是bc邊上的高，
∴∠bad=90°﹣∠abc=90°﹣50°=40°， …………4分
∴∠dac=∠bac﹣∠bad=60°﹣40°=20° ………………5分
大興區19．如圖，在△abc中，ab=ac，點d，點e
分別是bc，ac上一點，且de⊥ad. 若∠bad=55°，
∠b=50°，求∠dec的度數．
19．解：∵ab=ac，
∴∠b=∠c．
∵∠b=50°，
∴∠c =501分
∴∠bac=180°-50°-50°=802分
∵∠bad=55°，
∴∠dae=253分
∵de⊥ad，
∴∠ade=904分
∴∠dec=∠dae+∠ade=1155分
平谷區19．如圖，在△abc中，ab=ac，點d是bc邊上一點，ef垂直平分cd，交ac於點e，交bc於點f，鏈結de，求證：de∥ab．
19．證明：∵ab=ac，
b=∠c． 1
ef垂直平分cd，
ed=ec． 2
edc=∠c． 3
edc=∠b． 4
df∥ab． 5
懷柔區19.如圖，在平面直角座標系xoy中，每個小正方形的邊長都為1，△def和△abc的頂點都在格點上，回答下列問題：
(1)△def可以看作是△abc經過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉）得到的，寫出一種由△abc得到△def的過程
(2)畫出△abc繞點b逆時針旋轉90的圖形△a′bc′；
(3)在(2)中，點c所形成的路徑的長度為 .
19.(1)答案不唯一.例如：先沿y軸翻摺，再向右平移1個單位，向下平移3個單位；先向左平移1個單位，向下平移3個單位，再沿y軸翻摺3分
(2)如圖所示4分
(35分
延慶區19．如圖，在△abc中，ad平分∠bac交bc於點d，過點d 作de∥ab交ac於點e．求證：ae=de．
19．證明：∵ad平分∠bac
∴∠bad =∠dae
∵de∥ab
∴∠bad =∠ade3分
∴∠dae =∠ade4分
∴ae=de5分
順義區19．如圖，矩形abcd中，點e是cd延長線上一點，
且de=dc，求證：∠e=∠bac.
19．證明：∵四邊形abcd是矩形，
adc=，ab∥cd1分
de=dc，
ae=ac2分
e=∠ace3分
ab∥cd，
∴ ∠bac=∠ace4分
∴ ∠e=∠bac5分
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