單調性問題
1.（2023年西城一模理18）.（本小題滿分13分） *根與跟*
已知函式，其中.
（ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）求的單調區間.
2.(2023年海淀一模理18)（本小題滿分13分）
已知函式.
（ⅰ）求的單調區間；
（ⅱ）是否存在實數，使得函式的極大值等於？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
3.（2023年朝陽一模文18）. （本題滿分14分）
已知函式,.
（ⅰ）若函式在時取得極值，求的值；
（ⅱ）當時，求函式的單調區間.
4. （2012朝陽一模理18）. （本小題滿分13分） *討論*
設函式.
（ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）求函式單調區間.
5. （2023年石景山一模文理18）．（本小題滿分14分）
已知函式.
（ⅰ）若函式的圖象在處的切線斜率為，求實數的值；
（ⅱ）求函式的單調區間；
（ⅲ）若函式在上是減函式，求實數的取值範圍.
極值問題
6. （2012豐台一模文18）.（本小題共13分）
已知函式．
（ⅰ）若曲線y=f(x)在(1，f(1))處的切線與直線x+y+1=0平行，求a的值；
（ⅱ）若a>0，函式y=f(x)在區間(a，a 2-3)上存在極值，求a的取值範圍；
（ⅲ）若a>2，求證：函式y=f(x)在(0，2)上恰有乙個零點．
7.（2023年房山一模文18）.（本小題共13分）
設函式.
（ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）求函式的單調區間和極值；
（ⅲ）若對於任意的，都有，求的取值範圍.
恆成立問題
總結：1，恆成立問題的標誌是不等式都成立，
2，恆成立問題可分離變數再轉化為最值問題，或者直接轉化為最值問題
3，要注意區分是乙個變數還是兩個變數，若是兩個變數則可當做兩個函式去研究。
8. (2012海淀一模文18)（本小題滿分13分）
已知函式.
（ⅰ）求的單調區間；
（ⅱ）是否存在實數，使得對任意的，都有？若存在，求的取值範圍；若不存在，請說明理由.
9.（2023年東城一模文18）（本小題共13分）
已知是函式的乙個極值點．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）當，時，證明：．
10.(2023年東城一模理18)（本小題共14分）
已知函式在處的切線斜率為零．
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）求證：在定義域內恆成立；
(ⅲ) 若函式有最小值，且，求實數的取值範圍.
11.（2012東城區示範校聯考理18）.
已知函式： ,
（1） 當時，求的最小值
（2）當時，若存在,使得對任意的恆成立，
求的取值範圍.
12.（2023年豐台一模理18）.（本小題共13分）
已知函式．
（ⅰ）當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
（ⅱ）當a>0時，函式f(x)在區間[1，e]上的最小值為-2，求a的取值範圍；
（ⅲ）若對任意，，且恆成立，求a的取值範圍．
零點、交點問題
13. （2012東城區示範校聯考文）18. (本題滿分13分)
已知函式，.
(ⅰ) 當時, 求函式的單調區間；
(ⅱ) 當時，若任意給定的,在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值範圍．[ko
14. （2012房山一模理18）．（本小題共13分）
已知函式．
（i）當時，求函式的單調遞減區間；
（ii）求函式的極值；
（iii）若函式在區間上恰有兩個零點，求的取值範圍．
參***
1.（ⅰ）解：當時，，． …………2分
由於，，
所以曲線在點處的切線方程是． …………4分
（ⅱ）解6分
① 當時，令，解得．
的單調遞減區間為；單調遞增區間為，．……8分
當時，令，解得，或．
② 當時，的單調遞減區間為，；
單調遞增區間為10分
③ 當時，為常值函式，不存在單調區間11分
④ 當時，的單調遞減區間為，；單調遞增區間為13分
2.（本小題滿分13分）點評：本題第二問通過值域得到的不等關係從而證明了方程無解，若直接解方程，則會陷入麻煩，無法解決。
解：（ⅰ）的定義域為.
，即2分令，解得：或
當時，，故的單調遞增區間是.
3分當時，
，隨的變化情況如下：
所以，函式的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.
5分當時，
，隨的變化情況如下：
所以，函式的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.
7分（ⅱ） 當時，無極大值.
當時，的極大值為，
8分令，即解得或（舍）.
9分 當時，的極大值為.
10分因為
所以.因為，
所以的極大值不可能等於12分
綜上所述，當時，的極大值等於.
13分3. （本小題滿分14分）
解2分依題意得，解得. 經檢驗符合題意4分
（ⅱ），設，
（1）當時，，在上為單調減函式. ……5分
（2）當時，方程=的判別式為，
令, 解得（捨去）或.
1°當時，，
即，且在兩側同號，僅在時等於，
則在上為單調減函式7分
2°當時，，則恆成立，
即恆成立，則在上為單調減函式. ……………9分
3°時，，令，
方程有兩個不相等的實數根
，，作差可知，
則當時，，，在上為單調減函式；
當時，，，
在上為單調增函式；
當時，，，在上為單調減函式13分
綜上所述，當時，函式的單調減區間為；當時，函式的單調減區間為，，函式的單調增區間為14分
4. （本小題滿分13分）
解：因為所以.
（ⅰ）當時, , ,
所以.所以曲線在點處的切線方程為4分
（ⅱ）因為5分
（1）當時,由得；由得.
所以函式在區間單調遞增, 在區間單調遞減. ……………6分
（2）當時, 設，方程的判別式
7分 ①當時，此時.
由得,或；
由得.所以函式單調遞增區間是和,
單調遞減區間9分
②當時，此時.所以，
所以函式單調遞增區間是10分
③當時，此時.
由得；由得,或.
所以當時,函式單調遞減區間是和,
單調遞增區間12分
④當時, 此時，，所以函式單調遞減區間是.
13分5. （本小題滿分14分）
解1分 由已知，解得3分
（ii）函式的定義域為.
（1）當時,，的單調遞增區間為； ……5分
（2）當時.
當變化時，的變化情況如下：
由上表可知，函式的單調遞減區間是；
單調遞增區間是8分
（ii）由得，…………9分
由已知函式為上的單調減函式，
則在上恆成立，
即在上恆成立.
即在上恆成立11分
令，在上，
所以在為減函式.,
所以14分
6．解1分
2分因為曲線y=f(x)在(1，f(1))處的切線與直線x+y+1=0平行
所以3分
所以4分
（ⅱ）令5分
即，所以或． ……………6分
因為a>0，所以不在區間(a，a2-3)內，
要使函式在區間(a，a 2-3)上存在極值，只需．………7分
所以9分
（ⅲ）證明：令，所以或．
因為a>2，所以2a>410分
所以在(0，2)上恆成立，函式f(x)在(0，2)內單調遞減．
又因為11分
所以f(x)在(0，2)上恰有乙個零點13分
7． （本小題共13分）
解：（i）∵當時1分2分
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