海淀區高三年級第一學期期末練習
數學（文科）2016. 5
本試卷共4頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上
作答無效。考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回。
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1. 已知全集， 則
a. b. c. d.
2.數列的首項，且，則的值為
abcd.
3. 已知命題和命題，若為真命題，則下面結論正確的是
a. 是真命題 b. 是真命題 c. 為真命題 d. 為真命題
4. 已知向量, 且，則
a. b. c. d.
5. 函式的零點個數是
a.1個 b.2個c.3個d.4個
6. 在中， 則
abc. d.
7. 如圖, 拋物線與圓交於兩點，點為劣弧上不同於的乙個動點，與軸平行的直線交拋物線於點，則的周長的取值範圍是
a. b. c. d.
8.正方體的稜長為，點分別是稜的中點，以為底面作正三稜柱，若此三稜柱另一底面的三個頂點也都在該正方體的表面上，則這個正三稜柱的高為
abcd.
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
9.已知,其中為虛數單位，，則__.
10.某校為了解全校高中同學五一小長假參加實踐活動的情況，抽查了100名同學，統計他們假期參加活動的時間, 繪成的頻率分布直方圖如圖所示， 則這100名同學中參加活動時間在小時內的人數為 ___.
11.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的焦距為__.
12.若點在不等式組所表示的平面區域內，則原點與點距離的取值範圍是__.
13.在一次調查中，甲、乙、 丙、丁四名同學閱讀量有如下關係：同學甲、丙閱讀量之和與乙、丁閱讀量之和相同，同學甲、乙閱讀量之和大於丙、丁閱讀量之和，丁的閱讀量大於乙、丙閱讀量之和.
那麼這四名同學按閱讀量從大到小的排序依次為__.
14.已知點，若這三個點中有且僅有兩個點在函式的圖象上，則正數的最小值為___.
三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
15. （本小題滿分13分）
已知等差數列的通項公式為,各項都是正數的等比數列滿足.
（ⅰ）求數列的通項公式；
(ⅱ)求數列的前項和.
16.（本小題滿分13分）
已知函式.
（ⅰ）比較，的大小；
（ⅱ）求函式的最大值.
17.（本小題滿分14分）
已知長方形中, ，為中點，將沿折起到，所得四稜錐如圖所示.
（ⅰ）若點為中點，求證：平面；
（ⅱ）當平面平面時，求四稜錐的體積；
（ⅲ）求證: .
18.（本小題滿分13分）
某家電專賣店試銷a、b、c三種新型空調，銷售情況如表所示：
(ⅰ)求型空調前三周的平均周銷售量；
(ⅱ)為跟蹤調查空調的使用情況，根據銷售記錄，從該家電專賣店前三周售出的所有空調
中隨機抽取一台，求抽到的空調不是型且不是第一周售出空調的概率？
（ⅲ）根據型空調連續3周銷售情況，預估型空調連續5周的平均周銷量為10臺.
請問：當型空調周銷售量的方差最小時， 求，的值；
(注：方差，其中為，，…，的
平均數)
19.（本小題滿分13分）
已知,.
（ⅰ）當時，求函式的單調區間；
（ⅱ）若關於的不等式在上有解，求實數的取值範圍；
(ⅲ)若存在既是函式的零點，又是函式的極值點，請寫出此時的值. (只需寫出結論)
20.（本小題滿分14分）
已知曲線, 直線與曲線交於兩點，兩點在軸上的射影分別為點.
（ⅰ）當點座標為時,求的值；
（ⅱ）記的面積，四邊形的面積為.
（i） 若，求的值；
（ii）求證：.
海淀區高三年級第二學期期末練習參***
數學（文科）2016.5
閱卷須知:
1.評分參考中所注分數，表示考生正確做到此步應得的累加分數。
2.其它正確解法可以參照評分標準按相應步驟給分。
一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
二、填空題（本大題共6小題,每小題5分,共30分）
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.解：(ⅰ) 設數列的公比為，
因為，所以2分
解得或（舍4分
所以7分
(ⅱ)記的前項和為的前項和為
所以9分
12分所以13分
16.解：（ⅰ） 因為
所以…………………2分
…………………4分
因為, 所以…………………6分
（ⅱ）因為…………………9分
令， 所以11分
因為對稱軸,
根據二次函式性質知，當時，函式取得最大值13分
17解：（ⅰ）取中點，連線
因為在中，點分別是所在邊的中點，所以1分
又，所以，…………………2分
所以是平行四邊形，所以，…………………3分
又平面，平面，…………………4分
所以平面5分
方法二: 取中點，連線
在中，點分別是所在邊的中點，所以1分
又，所以是平行四邊形，…………………2分
所以…………………3分
因為所以平面平面…………………4分
因為平面,
所以平面5分
（ⅱ）因為平面平面，
在中，作於，
因為平面平面，
所以平面7分
在中，計算可得…………………8分
所以10分
（ⅲ）在矩形中，連線交於，
因為，所以，
所以，…………………11分
所以在四稜錐中，…………………12分
又，所以平面13分
因為平面，所以14分
方法二：
由 （ⅱ）, 連線.
在中，，，
，得到所以，所以…………………11分
又，…………………12分
所以平面13分
因為平面，所以14分
18解: (i)(i) 型空調前三周的平均銷售量
臺…………………2分
（ⅱ）設抽到的空調不是型且不是第一周售出的空調為事件…………………4分
所以…………………7分
（ⅲ）因為型空調平均周銷售量為臺，
所以…………………9分
又化簡得到…………………11分
注意到，所以當或時，取得最小值
所以當或時，取得最小值…………………13分
19.解：（ⅰ）當時，，
所以,…………………2分
令得，則及的情況如下：
…………………4分
所以函式的單調遞增區間為，,
函式的單調遞減區間為6分
（ⅱ）要使在上有解，只要在上的最小值小於等於.
因為，令，得到.…………………7分
當時，即時，在區間上單調遞增，為上最小值
所以有，即，解得或，
所以有；…………………9分
當時，即時，在區間上單調遞減，在上單調遞增，
所以為上最小值，
所以有，即，
解得，所以11分
綜上，得.
法二：（ⅱ）要使在上有解，只要在上的最小值小於等於.
因為，所以當，即時滿足題意，…………………8分
當時，因為，
令，得到，
因為，所以在區間上的單調遞增，
所以在區間上的最小值為，
所以，根據上面得到，矛盾11分
綜上，.
13分20.解：
（ⅰ）因為，所以，…………………1分
代入，解得，…………………2分
代入直線,得3分
（ⅱ）解法一：設點,.
因為,所以,…………………4分
所以…………………6分
又因為,…………………7分
而,所以,…………………8分
所以，所以，解得,…………………9分
所以10分
法二：解法一：設點,.
因為, 所以4分
所以…………………6分
點到直線的距離為7分
…………………8分
所以所以，解得9分
所以10分
（ⅲ）因為,…………………11分
所以,…………………12分
而,…………………13分
所以.…………………14分
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