韶關市2014屆高三摸底測試數學（理科）試題
本卷分第ⅰ卷(選擇題、填空題)和第ⅱ卷解答題兩部分，滿分150分.考試用時間120分鐘.
注意事項：
1．答第i捲前，考生務必將自己的姓名、班級、學校用藍、黑墨水鋼筆簽字筆寫在答題卷上；2．第i卷每小題得出答案後，請將答案填寫在答題卷相應**指定位置上。答在第ⅰ卷上不得分；
3．考試結束，考生只需將第ⅱ卷（含答卷）交回。
一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有乙個是符合題目要求的．）
１．若集合，，則=（ ）
a． b． c． d．
2．已知複數，則在平面內對應的點位於（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
3．下列函式中，既是奇函式又是在其定義域上是增函式的是（ ）
a． b． c． d．
4．某幾何體的主檢視與俯檢視如圖所示，左檢視與主檢視相同，且圖中的四邊形都是邊長為2的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是
a． bcd.
5．已知角的頂點在座標原點，始邊與軸正半軸重合終邊在直線上，則 ( )
a．-2b．2c．0d．
6．若實數滿足約束條件，則目標函式的最大值等於 ( )
a．2 b．3 c．4 d．1
7 若，則向量與的夾角為（ ）
abc. d.
8．符號表示不超過的最大整數,例如,,定義函式,給出下列四個命題：(1)函式的定義域為,值域為;(2)方程有無數個解;(3)函式是週期函式;(4)函式是增函式.其中正確命題的個數有（ ）
a．1b．2c．3d．4
二、填空題：本大題共７小題，考生作答６小題，每小題5分，滿分30分.
（一）、必做題９～１３題
9．若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則的值為
10．二項式展開式中含項的係數是
11．某班數學ⅰ測試的捲麵成績從高到低依次為、、…，小兵設計了乙個程式框圖（如圖），計算並輸出本次測試捲麵成績最高的前30名學生的平均分．圖3中，語句(1)是語句(2)是
12．已知,則的值域為若關於的不等式的解集為空集，則實數的取值範圍是
13．在中，，斜邊上的高為h1，則；模擬此性質，如圖，在四面體中，若，，兩兩垂直，底面上的高為，則得到的正確結論為
（二）、選做題（１４～１５題，考生只能從中選一題）
14．（座標系與引數方程選做題） 已知圓的極座標方程為，則該圓的圓心到直線的距離是
15．（幾何證明選講選做題）
如圖，圓的直徑，直線與圓o相切於點，
於d，若，設，則______．
201４屆高三摸底測試數學（理科）試題
一．選擇題答卷：
二、填空題答卷：
9101112
1314
15第ⅱ卷(解答題共80分)
三、解答題：本大題6小題，滿分80分. 解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
已知函式（），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離等於．
（１）求的值；
（２）當時，求函式的最大值和最小值及相應的值．
17.(本小題滿分13分)
某高校在2023年自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組[75，80)，第2組[80，85)，第3組[85，90)，第4組[90，95)，第5組[95，100]得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（１）分別求第3，4，5組的頻率；
（２）若該校決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試.
① 已知學生甲和學生乙的成績均在第三組，求學生甲和學生乙同時進入第二輪面試的概率；
② 學校決定在這6名學生中隨機抽取2名學生接受考官的面試，設第4組中有x名學生被考官面試，求x的分布列和數學期望.
18．(本小題滿分13分)
如圖，長方體中，，點是的中點.
（１）錐的體積；
（２）;
（３）求二面角的正切值.
19.(本小題滿分14分)
在平面直角座標系中，已知點，，為動點，且直線與直線的斜率之積為.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設過點的直線與曲線相交於不同的兩點，.若點在軸上，且
，求點的縱座標的取值範圍.
20．(本小題滿分14分)
已知數列的前n項和滿足：（為常數，且）．
（1）求的通項公式；
（2）設，若數列為等比數列，求的值；
（3）在滿足條件（2）的情形下，設，數列的前n項和為 ,
求證：．
21．(本小題滿分14分)
已知函式, .
（1）若, 函式在其定義域是增函式，求b的取值範圍；
（2）在（1）的結論下，設函式的最小值；
（3）設函式的圖象c1與函式的圖象c2交於點p、q，過線段pq的中點r作軸的垂線分別交c1、c2於點、，問是否存在點r，使c1在處的切線與c2在處的切線平行？若存在，求出r的橫座標；若不存在，請說明理由.
2014屆摸底測試數學（理科）試題
參***和評分標準
一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1、解析： d =, n={} ＝
2． 解析：d． 原式=
3．解析：d．由定義可知是奇函式，又，由圖象可知在定義域上是增函式.
4．解析：a．
5．解析：b 由已知可得，, 原式
6．解析：c 如圖作出不等式組表示的三角形區域，當直線
過時，最大，
7. 解析：b 利用向量線性運算的幾何意義和平幾性質.
8．解析：b ②，③正確
第二部分非選擇題（共110分）
二、填空題：本大題共7小題，其中9～12題是必做題,13～15題是選做題. 每小題5分，滿分30分.
９.；10. －192；11. ⑴（或、…）；⑵（或、…）
12. （３分），;
13. ; 14. ; 15.
9． 解析：雙曲線的右焦點是拋物線的焦點，所以，，
10．解析：－192．t=(-1) ()()=(-1) 2x, 令,得 , 因此，展開式中含項的係數是－192．
11．答案：⑴（或、…）；⑵（或、…）
12．．答案： （３分），
解析本題考查絕對值的意義，含參絕對值不等式的解法．
當x≤1時，g(x)=|x-1|-|x-2|=-1當１＜x≤２時，g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3,所以-１<≤1當x＞２時，g(x)=|x-1|-|x-2|=1，綜上，（此結果也可以由絕對值的幾何意義直接得出）
的解集為空集，就是1= max＜所以 .
13.解析：．連線且延長交於點，連，由已知，在直角三角形中，，即，容易知道⊥平面，所以
在直角三角形中，，所以，
，故。（也可以由等體積法得到）
▲選做題:在下面三道小題中選做兩題,三題都選的只計算前兩題的得分.
14．解析：．直線化為直角座標方程是; 圓的圓心（１，０）到直線的距離是
15．解析： 由可得
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程.
16. （本小題滿分1２分）
解：（1）．
因為 ，所以3分
所以 ．所以7分
（2）當時9分
所以當，即時11分
當，即時12分
17.（本小題滿分1３分）
(1) 解：
第三組的頻率為0.065=0.3；
第四組的頻率為0.045=0.2；
第五組的頻率為0.025=0.13分
(2)解：
① 設學生甲和學生乙同時進入第二輪面試的事件為
則6分②的可能取,抽取的６人中，第3，4，5組人數分別為３，２，１人
1０分13分
18．（本小題滿分1３分）
(1)解：由長方體性質可得，面，所以是三稜錐的高，又點是的中點，, 所以,,
分三稜錐的體積……４分
（２）鏈結, 因為是正方形，所以
又麵麵，
所以分又所以，面
面, 所以分
(３) 因為面,面,所以,
由（１）可知，,
所以，麵分
面, 面
, 是二面角的平面角
直角三角形中，
二面角的正切值為………………１３分
解法（二）
如圖，以為原點，為軸建立空間座標系
因為點是的中點，且則分
=所以分
（３）設是平面的法向量，則,
,得方程組令得所以分
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