數列一、選擇題
1、（2009潮州）等比數列的首項與公比分別是複數是虛數單位的實部與虛部，則數列的前項的和為（ ）a
abcd
2、（2009揭陽）已知是等差數列，，，則過點的直線的斜率（ ）a
a．4 b c．－4 d．－14
3、（2009廣東五校）在等差數列中，，其前項的和為．若，則（ ）b
（ab） （cd）
4、（2009番禺）首項為的等差數列,從第項開始為正,則公差的取值範圍是 （ ）c
abcd.
5、（2009北江中學）乙個等差數列共n項，其和為90，這個數列的前10項的和為25，後10項的和為75，則項數n為 （ ）c
a.14b.16c.18d.20
6、（2009珠海）等差數列的前項和為,,等比數列中,則的值為（ b ）
a．64 b．-64 c．128 d．-128網
7、（2009澄海）．已知等比數列的公比為2，且前四項之和等於1，那麼前八項之和等於( )d
a.15b.21c.19d.17
8、（2009澄海）記等差數列的前項和為，若，且公差，則當取最大值時，（ ）c
a．4或5 b．5或6c．6或7d．7或8
9、（2009韶關）已知等差數列滿足，則有（ ） c
a． b． c． d．
10、（2009中山一中）已知在等差數列｛｝中,若，則n的最小值為（ ）b
a．60b．62c．70d．72
二、解答題
1、（2009深圳福田）已知數列是等差數列， ；數列的前n項和是，且．
(ⅰ) 求數列的通項公式； (ⅱ) 求證：數列是等比數列；
(ⅲ) 記，求的前n項和
解：(ⅰ)設的公差為，則：，，
2分4分
（ⅱ）當時，，由，得5分
當時，，，
∴，即7分
8分∴是以為首項，為公比的等比數列9分
（ⅲ）由（2）可知10分
11分∴．∴．∴
13分14分
2、（2009金山中學（一））已知曲線c：xy=1，過c上一點作一斜率為的直線交曲線c於另一點，點列的橫座標構成數列{}，其中．
（1）求與的關係式；
（2）求證：{}是等比數列；
（3）求證：。
解：（1）過c：上一點作斜率為的直線交c於另一點，
則3分（前三個式子各式1分）
於是有： 即4分
（2）記，則
6分因為，
因此數列{}是等比數列8分
（3）由（2）可知：，
9分當n為偶數時有：
11分於是
①在n為偶數時有：
12分②在n為奇數時，前n-1項為偶數項，於是有：
13分綜合①②可知原不等式得證14分
3、（2009湛江師院附中）已知數列是等差數列，且，是數列的前項和．
(ⅰ)求數列的通項公式及前項和；
(ⅱ) 若數列滿足，且是數列的前項和，求與．
解：(ⅰ)設數列的公差為，由題意可知：,解得: …3分
5分6分
8分 ……………13分
4、（2009廣州天河）根據如圖所示的程式框圖，將輸出的x、y值依次分別記為；
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）寫出y1，y2，y3，y4，由此猜想出數列；
的乙個通項公式yn，並證明你的結論;
（ⅲ）求．
解：（ⅰ）由框圖，知數列 ……2分
4分（ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.
由此，猜想 ……2分
證明：由框圖，知數列中，yn+1=3yn+2∴4分
∴數列是以3為首項，3為公比的等比數列。
∴+1=3·3n－1=3n
∴=3n－16分
（ⅲ）zn=
=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1）
=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]
記sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n
則3sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+12分
①－②，得－2sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1
=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1
=2×=
3分又1+3+…+（2n－1）=n2
4分5、（2009廣州海珠區）數列是遞增的等比數列，且.
(ⅰ)求數列的通項公式;
(ⅱ)若,求證數列是等差數列;
(ⅲ)若……,求的最大值.
解:(ⅰ)由知是方程的兩根,注意到得 .……2分
得.等比數列.的公比為,……4分
(ⅱ)……6分
∵……8分
數列是首相為3,公差為1的等差數列. ……9分
(ⅲ) 由(ⅱ)知數列是首相為3,公差為1的等差數列,有
……=……
=……11分
,整理得,
解得.……13分
的最大值是7. ……14分
6、（2009湛江21中）已知數列是等比數列,且
(1)求數列的通項公式;
(2)求證:；
(3)設,求數列的前100項和.
.解：(1)設等比數列的公比為.
則由等比數列的通項公式得,
又數列的通項公式是.
數列的前100項和是
7、（2009深圳九校）等差數列的公差，它的一部分組成數列為等比數列，其中，，.
（ⅰ）求等比數列的公比；
（ⅱ）記，求的解析式；
（ⅲ）求的值;
解：（ⅰ）依題意有1分
解得3分
5分（ⅱ）解法16分
，又，8分是等比數列9分
10分解法2： ∵是等比數列的第項，又是等差數列的第項
7分9分
由（ⅰ）知
10分（ⅲ）……14分
8、（2009普寧）設數列的前項和為，且，為等差數列，且，．
（1）求數列和通項公式；
（2）設，求數列的前項和
（1）當時，．…………1分
當時，，此式對也成立．
．…………3分
從而，．
又因為為等差數列，
公差，…………5分
．…………6分
（2）由（1）可知，…………7分
所以8分
①2得． ②…………9分
①-②得：
…………11分
．…………13分
．…………14分
9、（2009廣東六校一）已知數列的首項，前項和．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，，為數列的前項和，求證：．
解：（ⅰ）由
①－②得：，即4分∵
，8分10分
∴．故14分
10、（2009番禺）已知點在直線上，點……，順次為軸上的點,其中，對於任意，點構成以為頂角的等腰三角形, 設的面積為．
證明：數列是等差數列；
求；（用和的代數式表示）
設數列前項和為，判斷與()的大小，並證明你的結論；
解：（1）由於點在直線上，
則1分因此，所以數列是等差數列2分
（2）由已知有，那麼3分
同理以上兩式相減，得4分
∴成等差數列；也成等差數列5分
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