數學試題（文科） 2014.04
本試卷共5頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案資訊點塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後再寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．考生必須保持答題卡的整潔。考試結束後，將答題卡一併交回。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填塗相應選項.
1．函式的定義域為（ ）
a． b． c． d．
2．已知向量，則向量的座標為（ ）
abcd．
3．不等式的解集為（ ）
ab．cd．4．是虛數單位，若，則等於（ ）
ab． c． d．
5．如圖，乙個空間幾何體的主檢視、左檢視、俯檢視為全等
的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為，那麼這
個幾何體的體積為 ( )
ab．cd．6．用二分法求方程的近似解，可以取的乙個區間是（ ）
abcd．
7. 已知橢圓的長軸在軸上，焦距為，則等於 （ ）
abcd．
8．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面。下列四個命題正確的是（ ）
ab.c. d.
9．已知，則等於（ ）
abcd．
10．設命題：函式的圖象向左平移個單位長度得到的曲線關於軸對稱；
命題：函式在上是增函式．則下列判斷錯誤的是（ ）
a．為假b．為真 c．為假 d．為真
二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．
（一）必做題（11～13題）
11．已知點滿足，則的最小值是
12. 程式框圖（即演算法流程圖）如下圖所示，其輸出結果是
13．設一直角三角形的兩條直角邊長均是區間上
的任意實數，則斜邊長小於的概率為
(二)選做題(14～15題,考生只能從中選做一題)
14．（座標系與引數方程選做題）在平面直角座標系下，曲線
，曲線.若曲線有公共點，則實數的取值範圍是
15．（幾何證明選講選做題）如右圖所示，是圓
外一點，過引圓的兩條割線
．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16. （本小題滿分12分）
已知函式
（1）求的值；
（2）若，且，求.
17．（本小題滿分12分）
某校高三（1）班共有名學生，他們每天自主學習的時間全部在分鐘到分鐘之間，按他們學習時間的長短分個組統計,得到如下頻率分布表：
（1）求分布表中，的值；
（2）王老師為完成一項研究，按學習時間用分層抽樣的方法從這名學生中抽取名進行研究，問應抽取多少名第一組的學生？
（3）已知第一組學生中男、女生人數相同，在（2）的條件下抽取的第一組學生中，既有男生又有女生的概率是多少？
18．（本小題滿分14分）
如圖1，在直角梯形中，，，且．
現以為一邊向梯形外作正方形，然後沿邊將正方形翻摺，使平面與平面垂直，為的中點，如圖2．
（1）求證：∥平面;
（2）求證：;
（3）求點到平面的距離.
19.（本小題滿分14分）
已知正項數列中，，前n項和為，當時，有.（1）求數列的通項公式；
（2）記是數列的前項和，若的等比中項，求 .
20.（本小題滿分14分）
已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為曲線:上任一點（點不同於），直線與直線交於點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關係，並證明你的結論．
21.（本小題滿分14分）
已知函式
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)求的單調區間；
(3）設，若對任意，均存在，使得，求的取值範圍.
廣東省惠州市2014屆高三4月模擬考試
文科數學答案2014.04
一． 選擇題
1．【解析】選a，
2．【解析】選d，.
3．【解析】選b，.
4.【解析】選b，
5.【解析】選d, 由三檢視還原幾何體可知.
6.【解析】選c， 設，
當連續函式
7.【解析】選a，
8.【解析】選a，有麵麵平行的性質可知a正確.
9.【解析】選c,相鄰兩項依次結合可得：
10. 【解析】選d ，
二．填空題
111213.
14. （ 或 ） 15.
11.【解析】
12.【解析】連續遞推可得
13.【解析】設兩條直角邊長為，
14.【解析】化為普通方程後，圓心到直線的距離小於或等於圓的半徑（），解不等式即可.
15.【解析】由割線定理可得
三．解答題
16. （本小題滿分12分）
解：(12分
(24分
6分8分
…………10分
因為，且，所以11分
所以12分
17．（本小題滿分12分）
解：（14分
（2）設應抽取名第一組的學生，則得．
故應抽取2名第一組的學生6分
（3）在（2）的條件下應抽取2名第一組的學生，記第一組中2名男生為，2名女生為．
按時間用分層抽樣的方法抽取2名第一組的學生共有種結果，列舉如下：
9分其中既有男生又有女生被抽中的有這4種結果， ……10分
所以既有男生又有女生被抽中的概率為12分
18．（本小題滿分14分）
（1）證明：取中點，鏈結．
在△中，分別為的中點，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且3分
所以四邊形為平行四邊形．
所以4分
又因為平面，且平面，
所以∥平面5分
（2）在正方形中，．
又因為平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
所以．所以8分
所以平面10分
（3）解法一：因為平面， 所以平面平面． …………11分
過點作的垂線交於點，則平面
所以點到平面的距離等於線段的長度12分在直角三角形中，
所以所以點到平面的距離等於14分
解法二：平面,所以
所以12分 又，設點到平面的距離為
則 ，所以
所以點到平面的距離等於14分
19. （本小題滿分14分）
解析： （1）
……………1分
2分3分
4分……………6分
（2）7分
9分……………11分
13分14分
20.（本小題滿分14分）
解析：（1）由題意可得2分3分
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