惠州市2011屆高三第二次調研考試
數學試題(理科）
本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案資訊點塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後再寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液。不按以上要求作答的答案無效。
一.選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.已知集合，集合，則（ ）
ab． cd．
2.在四邊形中，，那麼四邊形為（ ）
a．平行四邊形b．菱形c．長方形d．正方形
3.在等差數列中，若，則（ ）
ab． c．1 d．－1
4.給定空間中的直線及平面，條件「直線與平面內無數條直線都垂直」是「直線與平面垂直」的（ ）
a．充分非必要條件. b．必要非充分條件.
c．充要條件d．既非充分也非必要條件.
5.如右圖所示的程式框圖，若輸入n=3，則輸出結果是（ ）
a． b． c． d．
6.△abc中，，則△abc的面積等於（ ）
a． b． c． d．
7.從4名男生和3名女生中選出4人參加迎新座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，不同的選法共有（ ）
a．140種 b． 120種 c．35種 d．34種
8.如圖，動點在正方體的對角線上．過點作垂直於平面的直線，與正方體表面相交於．設，，則函式的影象大致是（ ）
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
（一）必做題（9～13題）
9.為了了解某校高中學生的近視眼發病率，在該校學生中進行分層抽樣調查，已知該校高
一、高二、高三分別有學生名、名、名，若高三學生共抽取名，則高一學生抽取的人數是
10.若，其中是虛數單位，則
11.曲線在點處切線的方程為
12.在的二項展開式中，的係數是
13.我們可以運用下面的原理解決一些相關圖形的面積問題：如果與一固定直線平行的直線被、甲、乙兩個封閉圖形所截得線段的比為定值，那麼甲的面積是乙的面積的倍，你可以從給出的簡單圖形①（甲：
大矩形，乙：小矩形）、②（甲：大直角三角形，乙：
小直角三角形）中體會這個原理，現在圖③中的曲線分別是與，運用上面的原理，圖③中橢圓的面積為 ．
（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題；兩道題都做的，只記第14題的分）
14.（幾何證明選講選做題）如圖，已知ab是⊙o的直徑，ab=2，ac和ad是⊙o的兩條弦，ac=，ad=，
則∠cad= ．
15.（座標系與引數方程選做題）極座標方程分別是和的兩個圓的圓心距是 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.（本題滿分12分）
已知向量
（1）若，求向量與的夾角；
（2）當時，求函式的最大值。
17.（本題滿分12分）
如圖，平面⊥平面，為正方形，，且分別是線段的中點．
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
18.（本題滿分14分）
某工廠在試驗階段大量生產一種零件．這種零件有a、b兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響．若a項技術指標達標的概率為，b項技術指標達標的概率為，按質量檢驗規定：兩項技術指標都達標的零件為合格品．
（1）乙個零件經過檢測至少一項技術指標達標的概率；
（2）任意依次抽取該種零件4個，設表示其中合格品的個數，求分布列及．
19.（本題滿分14分）
已知數列中，
（1）設，求證：數列是等比數列；
（2）求數列的通項公式
（3）設，求證：數列的前項和．
20.（本題滿分14分）
已知橢圓中心在座標原點，焦點在座標軸上，且經過、、三點．
（1）求橢圓的方程：
（2）若點為橢圓上不同於、的任意一點，，當內切圓的面積最大時，求內切圓圓心的座標；
（3）若直線與橢圓交於、兩點，證明直線與直線的交點在直線上．
21.（本題滿分14分）
設m是由滿足下列條件的函式構成的集合：「①方程有實數根；②函式的導數滿足.」
（1）判斷函式是否是集合m中的元素，並說明理由；
（2）集合m中的元素具有下面的性質：若的定義域為d，則對於任意d，都存在，使得等式成立」，試用這一性質證明：方程只有乙個實數根；
（3）設是方程的實數根，求證：對於定義域中任意的.
惠州市2011屆高三第二次調研考試
數學試題(理科）答案
一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1．【解析】a為函式的定義域，於是 a=，故,故選d。
2．【解析】平行四邊形abcd，又由於，故為菱形。故選b.
3．【解析】，故。故選a。
4．【解析】由於「直線與平面垂直」與「直線與平面內任意一條直線都垂直」互為充要條件，故「直線與平面垂直」可推出「直線與平面內無數條直線都垂直」，但反推不成立，故選b。
5．【解析】k=1累加至k=3，共執行迴圈體3次，故累乘至,故選c.
6．【解析】由正弦定理解得，故或；當時，，△abc為rt△，；當時，，△abc為等腰△，，故選d。
7．【解析】由題意，可分為三種情況：1男3女，2男2女，3男1女，其選法分別為，故共有種選法，故選d。
8．【解析】取中點q，中點g，中點，則過mn和的截面如圖所示：由圖可知，p由b運動到p0過程中，y隨x的增大而增大；p由p0運動到d1過程中，y隨x的增大而減小，故排除a,c。而p由b運動到p0過程中，為定值，故y為關於x的一次函式，影象為線段；後半段亦同理可得，故選b。
二.填空題（本大題每小題5分，共30分，把答案填在題後的橫線上）
9．40 10．3 11． 12．15 13． 14． 15．
9．【解析】設高一抽取x人，由分層抽樣的等概率原則，，解得。
10．【解析】由得，故
11．【解析】由點斜式得切線方程：，
整理得。
12．【解析】的二項展開的通項為，即，
令，得，故係數為。
13．【解析】由①②模擬推理可知:,故
14．【解析】鏈結bc、bd，則∠acb=∠adb=90°，rt△abc中，
；rt△abd中，；.∴∠cad=∠cab+∠dab=.
15．【解析】兩圓的標準方程為，，
兩圓心座標為，由兩點間的距離公式可得圓心距為。
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．（本題滿分12分）
解：（1）當1分
…………3分
4分5分
（2）9分 故11分
12分17．（本題滿分12分）
（1）證明：由於平面⊥平面,且平面∩平面=………1分
而即，且平面2分
由麵麵垂直的性質定理得：平面4分
（2）解法一：取bc的中點m，鏈結em、fm，則fm//bd，
∠efm（或其補角）就是異面直線ef與bd所成的角6分
設，則，
……8分
rt△mae中，，同理，又10分
∴△mfe中，由餘弦定理得，……12分
解法二：建立如圖所示的空間直角座標系a－xyz，設,………6分
8分∵，，…10分
∴ ……12分
18．（本題滿分14分）
解：（1）設m：乙個零件經過檢測至少一項技術指標達標，則：a，b都不達標；
故4分（2）依題意知 ～， ……5分
，，，，
10分14分
19．（本題滿分14分）
解：（1）由，得即2分
，故數列是等比數列 ……4分
（2）由（1）知是，的等比數列；
故7分（3） …10分
…14分
20．（本題滿分14分）
解：（1）設橢圓方程為
將、、代入橢圓e的方程，得
解得∴橢圓的方程2分
（2），設邊上的高為3分
設的內切圓的半徑為，因為的周長為定值6．
所以4分
當在橢圓上頂點時，最大為，
故的最大值為，
於是也隨之最大值為 ……5分
此時內切圓圓心的座標為……7分
（3）將直線代入橢圓的方程並整理．
得．設直線與橢圓的交點，
由根係數的關係，得9分
直線的方程為：，它與直線的交點座標為
同理可求得直線與直線的交點座標為．…11分
下面證明、兩點重合，即證明、兩點的縱座標相等：
， 因此結論成立．
綜上可知．直線與直線的交點住直線上14分
21．（本題滿分14分）
解：（1）因為2分
廣東省惠州市2019屆高三4月模擬考試
數學試題 文科 2014.04 本試卷共5頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項 1 答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號 試室號 座位號填寫在答題卡上。2 選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案資訊點塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，...
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