韶關市2013屆高三調研考試
數學理試題
一、選擇題（40分）
1、如果集合a＝中只有乙個元素，則a的值是（ ）
a、0 b、0或2 c、2 d、－2或2
2、已知i為虛數單位，則＝（ ）
a、－i b、－1 c、i d、1
3、設，則這四個數的大小關係是（ ）
a、a4、若方程表示雙曲線，則實數k的取值範圍是（ ）
a、－1＜k＜1 b、k＞0 c、k≤0 d、k＞1或k＜－1
5、某幾何體的三檢視如圖所示，根據圖中標出的資料，可得這個幾何體的表面積為（ ）
a、4＋4 b、4＋4 c、 d、12
6、△abc中，角a，b，c所對邊a，b，c，若a＝3，c＝120°，△abc的面積s＝，則c＝（ ）
a、5 b、6 c、 d、7
7、在實驗員進行一項實驗中，先後要實施5個程式，其中程度a只能出現在第一步或最後一步，程式c或d實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有（ ）
a、15種 b、18種 c、24種 d、44種
8、設在區間i上有定義，若對都有，則稱是區間i的向上凸函式；若對都有，則稱是區間i的向下凸函式，有下列四個判斷：
①若f（x）是區間i的向上凸函式，則－f（x）在區間i的向下凸函式；
②若f（x）和g（x）都是區間i的向上凸函式，則f（x）＋g（x）是區間i的向上凸函式；③若f（x）在區間i的向下凸函式，且f（x）≠0，則是區間i的向上凸函式；
④若f（x）是區間i的向上凸函式，
其中正確的結論個數是（ ）
10、下圖是霜演算法的程式框圖，則程式執行後輸出的結果是＿＿＿＿
11、已知實數x，y滿足，則z＝x－4y－2的最大值為＿＿＿＿
12、設曲線有點（0,1）處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝＿＿＿
13、平面上有n條直線，這n條直線任意兩條不平行，任意三條不共點，記這n條直線將平面分成f（n）部分，則f（3）＝＿＿＿＿，n≥4時，f（n）＝＿＿＿＿（用n表示）。
（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）
14．（座標系與引數方程選做題）如圖，ab，cd是圓的兩條弦，ab與cd交於e，ae＞eb，ab是線段cd的中垂線，若ab＝6，cd＝2，則線段ac的長度為＿＿＿＿
15．（幾何證明選講選做題）在直角座標系xoy中，圓c1的引數方程為（為引數）在極座標系（與直角座標系xoy取相同的長度單位，且以原點o為極點，以x軸的正半軸為極軸）中，圓c2的極座標方程為，則c1與c2的位置關係是＿＿＿＿＿（在「相交，相離，內切，外切，內含」中選擇乙個你認為正確的填上）
三、解答題（80分）
16、（本小題滿分12分）函式的部分圖象如右所示。
（1）求函式f（x）的解析式
（2）設，且，求的值。
（1）據此**資料，你認為有多大把握認為「a學科合格」與「b學科合格」有關；
（2）從「a學科合格」的學生中任意抽取2人，記被抽取的2名學生中「b學科合格」的人數為x，求x的數學期望。
18.（本小題滿分14分）如圖，三稜錐p-abc中，pb⊥底面abc於b，∠bca＝90°，pb＝ca＝2，點e是pc的中點。
（1）求證：側面pac⊥平面pbc；
（2）若異面直線ae與pb所成的角為θ，且，求二面角c－ab－e的大小。
19.（本小題滿分14分）橢圓的離心率為，兩焦點分別為，點是橢圓上一點，且的周長為，設線段（為座標原點）與圓交於點，且線段長度的最小值為.
（1）求橢圓以及圓的方程;
（2）當點在橢圓上運動時,判斷直線與圓的位置關係.
20、（本題滿分14分）已知定義在實數集上的函式，，其導函式記為，且滿足．
（ⅰ）設函式g（x）＝，求g（x）的極大值與極小值；
（ⅲ）試求關於的方程在區間上的實數根的個數．
21．（本題滿分14分）
設等差數列的公差，數列為等比數列，若，，
（1）求數列的公比；
（2）將數列，中的公共項按由小到大的順序排列組成乙個新的數列，是否存在正整數（其中）使得和均成等差數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。
參***
1、d 2、c 3、b 4、a 5、b 6、d 7、c 8、c
9、4 10、11 11、2 12、2 13、7 ；
14、 15、內切
17、解：（1）k2＝≈7.822＞6.635
所以，有90%的把握認為「a學科合格」與「b學科合格」有關。
（2）x可以取0，1，2，
p（x＝0）＝＝， p（x＝1）＝＝， p（x＝2）＝＝
ex＝＋2×＝，所以，x的數學期望為。
16、解：（1）由圖可知t＝＝，所以，＝2，a＝2
所以（2），即，又，所以，
所以＝18、（1）證明：∵pb⊥平面abc，∴pb⊥ac；
∵∠bca＝90°，∴ac⊥bc；
又∵ac⊥bc，ac⊥pb，在面pbc中pb∩bc=b；∴ac⊥平面pbc；
又∵ac∈平面pac，∴面pac⊥面pbc
（2）以c為原點，ca、cb所在直線為x，y軸建立空間直角座標系，設bc＝m,
則c（0,0，0），a（2，0，0），e（0，,1），b（0，m,0），p（0， m,2）
由，得：，由，解得：m＝
平面abc的乙個法向量m＝（0，0，1），求得平面abe的乙個法向量n＝（1，,1）
由mn=|m||n|cos，得：，所以，二面角c－ab－e的大小為30°
19.解: （1） 設橢圓的半焦距為,則
，即1分
又2分聯立①②，解得,，所以4分
所以橢圓的方程為6分
而橢圓上點與橢圓中心的距離為
，等號在時成立，……7分
而，則的最小值為，從而，
則圓的方程為8分
（2）因為點在橢圓上運動,所以，
即9分圓心到直線的距離， ……10分
當，，，則直線與圓相切． …… 12分
當時，，則直線與圓相交． …………14分
20．(本小題滿分14分)
解：（ⅰ）令，則
，…3分
令，得，且，
當為正偶數時，隨的變化，與的變化如下：
所以當時，極大=；當時，極小=0．
當為正奇數時，隨的變化，與的變化如下：
所以當時，極大=；無極小值．
（ii），即，
所以方程為，
，又，而對於，有（利用二項式定理可證），
。 綜上，對於任意給定的正整數，方程只有唯一實根，且總在區間內，所以原方程在區間上有唯一實根．
21、解：（1）設的公比為，由題意
即2分不合題意，故，解得4分
（2）若與有公共項，不妨設
由（2）知：
令，則12分
若存在正整數（其中）滿足題意，
設則，又
又14分
又在r上增，。與題設矛盾，
不存在滿足題意16分
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