海淀區2023年二模數學學科測試（理工類）2013.5
一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.
1.集合， ，則
a． b． c． d．
2.已知數列是公比為的等比數列，且，，則的值為
abc．或 d．或
3. 如圖，在邊長為的正方形內有不規則圖形. 向正方形內隨機撒豆子，若
撒在圖形內和正方形內的豆子數分別為，則圖形面積的估計值為
abcd.
4.某空間幾何體的三檢視如右圖所示，則該幾何體的表面積為
ab.cd.
5.在四邊形中，「，使得」是「四邊形為平行四邊形」的
a. 充分而不必要條件b. 必要而不充分條件
c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件
6.用數字1，2，3，4，5組成沒有重複數字的五位數，且5不排在百位，2，4都不排在個位和萬位，則這樣的五位數個數為
abcd.
7.雙曲線的左右焦點分別為，且恰為拋物線的焦點，設雙曲線與該拋物線的乙個交點為，若是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為
abcd.
8. 若數列滿足：存在正整數，對於任意正整數都有成立，則稱數列為週期數列，週期為. 已知數列滿足，
則下列結論中錯誤的是
a. 若，則可以取3個不同的值
b. 若，則數列是週期為的數列
c.且，存在，是週期為的數列
d.且，數列是週期數列
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 在極座標系中，極點到直線的距離為_______.
10.已知，則按照從大到小排列為______.
11.直線過點且傾斜角為，直線過點且與直線垂直，則直線與直線的交點座標為____.
12.在中，，則
13.正方體的稜長為，若動點**段上運動，則的取值範圍是
14.在平面直角座標系中，動點到兩條座標軸的距離之和等於它到點的距離，記點的軌跡為曲線.
(i) 給出下列三個結論：
①曲線關於原點對稱；
②曲線關於直線對稱；
③曲線與軸非負半軸，軸非負半軸圍成的封閉圖形的面積小於；
其中，所有正確結論的序號是_____;
(ⅱ)曲線上的點到原點距離的最小值為______.
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
15.（本小題滿分13分）
已知函式.
（ⅰ）求函式的定義域；
(ⅱ) 求函式的單調遞增區間.
16.（本小題滿分13分）
福彩中心發行彩票的目的是為了獲取資金資助福利事業,現在福彩中心準備發行一種面值為5元的福利彩票刮刮卡，設計方案如下：（1）該福利彩票中獎率為50%；（2）每張中獎彩票的中獎獎金有5元，50元和150元三種；（3）顧客購買一張彩票獲得150元獎金的概率為，獲得50元獎金的概率為.
(i) 假設某顧客一次性花10元購買兩張彩票，求其至少有一張彩票中獎的概率；
（ii）為了能夠籌得資金資助福利事業, 求的取值範圍.
17. （本小題滿分14分）
如圖1，在直角梯形中，，，，
. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落**段上，連線,點分別為線段的中點．
(i) 求證：平面平面；
(ii) 求直線與平面所成角的正弦值；
(iii)在稜上是否存在一點,使得到點四點的距離相等？請說明理由.
若甲、乙兩人的日產量相等，則甲、乙兩人中技術較好的是 ．
12．圖2是乙個有層的六邊形點陣．它的中心是乙個點，算作
第一層．第2層每邊有2個點．第3層每邊有3個點，…，第層
每邊有個點，則這個點陣的點數共有個．
13．已知的展開式中第5項的係數與第3項的係數比為56：3，
則該展開式中的係數為
(二) 選做題 (14~15題．考生只能從中選做一題)
14．(座標系與引數方程選做題) 已知直線的引數方程為 (引數)，
圓的引數方程為 (引數)，
則直線被圓所截得的弦長為
15．(幾何證明選講選做題) 如圖3，半徑為5的圓的兩條弦
和相交於點，，為的中點則弦的長度為
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．(本小題滿分12分)
已知，．
(1) 求值；
(2) 求的值．
17．(本小題滿分12分)
如圖4，在直角梯形中，°．°，，把沿對角線折起後如圖5所示 (點記為點)．點在平面上的正投影落**段上，連線．
(1) 求直線與平面所成的角的大小；
(2) 求二面角的大小的余弦值．
18. （本小題滿分13分）
已知函式,點為一定點,直線分別與函式的圖象和軸交於點, ,記的面積為.
（）當時,求函式的單調區間；
（）當時, 若,使得, 求實數的取值範圍.
19. （本小題滿分14分）
已知橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點.
（）求橢圓的方程；
（ii）直線與橢圓交於，兩點，且線段的垂直平分線經過點，求
（為原點）面積的最大值.
20. （本小題滿分13分）
設是由個實數組成的行列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次「操作」.
(ⅰ) 數表如表1所示，若經過兩次「操作」，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次「操作」後所得的數表（寫出一種方法即可表1
(ⅱ) 數表如表2所示，若必須經過兩次「操作」，才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數的所有可能值；
(ⅲ)對由個實數組成的行列的任意乙個數表，
能否經過有限次「操作」以後，使得到的數表每行的各數之表2
和與每列的各數之和均為非負整數？請說明理由.
參***及評分標準
一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
二、填空題（本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，
共30分）
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15．（本小題滿分13分）
解：（i）因為
所以2分
所以函式的定義域為4分
（ii）因為6分
8分又的單調遞增區間為，
令解得11分
又注意到
所以的單調遞增區間為13分
16. 解：（i）設至少一張中獎為事件
則4分 (ii) 設福彩中心賣出一張彩票可能獲得的資金為
則可以取6分
的分布列為
8分所以的期望為
11分 所以當時，即12分
所以當時，福彩中心可以獲取資金資助福利事業…………………13分17.解：（i）因為點在平面上的正投影恰好落**段上
所以平面，所以1分
因為在直角梯形中，，，
， 所以，，所以是等邊三角形，
所以是中點2分
所以3分
同理可證
又所以平面平面5分
（ii）在平面內過作的垂線
如圖建立空間直角座標系，
則6分因為，
設平面的法向量為
因為，所以有，即，
令則所以8分
10分所以直線與平面所成角的正弦值為11分
(iii)存在，事實上記點為即可12分
因為在直角三角形中13分
在直角三角形中，點
所以點到四個點的距離相等14分
18.解: (i) 因為，其中2分
當，，其中
當時，，，
所以，所以在上遞增4分
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