北京市東城區2016-2017學年度第二學期高三綜合練習（二）
數學 （文科
本試卷共5頁，共150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回。
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）
1．已知全集是實數集.右邊的韋恩圖表示集合與關係，那麼陰影部分所表示的集合可能為
a． b．
c． d．
2．已知向量，，且，那麼的值為
a． b．
c． d．
3．下列函式既是奇函式，又在區間上單調遞減的是
a． b．
c． d．
4．在平面直角座標系中，不等式組所表示的平面區域的面積為
a． b． c． d．
5．已知，那麼「」的充分必要條件是
a． b． c． d．
6．已知直線與圓相交於，兩點，且 (其中為原點)，
那麼的值是
a． b． c． d．
7．日晷，是中國古代利用日影測得時刻的一種計時工具，又稱「日規」．其原理就是利用太陽的投影方向
來測定並劃分時刻．利用日晷計時的方法是人類在天文計時領域的重大發明，這項發明被人類沿用達幾千
年之久．下圖是故宮中的乙個日晷，則根據**判斷此日晷的側(左)檢視可能為
abcd
8．已知甲、乙兩個容器，甲容器容量為，裝滿純酒精，乙容器容量為，其中裝有體積為的水(，單位：l). 現將甲容器中的液體倒入乙容器中，直至甲容器中液體倒完或乙容器盛滿，攪拌使乙容器中兩種液體充分混合，再將乙容器中的液體倒入甲容器中直至倒滿，攪拌使甲容器中液體充分混合，如此稱為一次操作，假設操作過程中溶液體積變化忽略不計.
設經過次操作之後，乙容器中含有純酒精 (單位：l)，下列關於數,列的說法正確的是
a．當時，數列有最大值
b．設，則數列為遞減數列
c．對任意的，始終有
d．對任意的，都有
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
9．已知三內角，，對應的邊長分別為，，，且，又邊長，那麼
．10．已知其中是實數，是虛數單位，那麼．
11．右面莖葉圖記錄了甲，乙兩班各六名同學一周的課外閱讀時間（單位：小時），已知甲班資料的平均數為13，乙班資料的中位數為17，那麼的位置應填_____；的位置應填_____.
12．已知函式的零點在區間內，那麼 .
13．已知雙曲線以原點o為中心，過點，且以拋物線：的焦點為右頂點，那麼雙曲線的方程為．
14．如圖，在稜長為2的正方體中，為對角線
上的一點，為對角線上的兩個動點，且線段的長度為1.
（1）當為對角線的中點且時，則三稜錐的體積是_______；
（2）當三稜錐的體積為時，則_______.
三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
15．（本小題13分）
在等差數列中，，.
（ⅰ）求通項；
（ⅱ）若，求數列的前項和.
16.（本小題13分）
函式的最大值為, 它的最小正週期為.
（ⅰ）求函式的解析式；
（ⅱ）若，求在區間上的最大值和最小值.
17．（本小題13分）
某單位附近只有甲，乙兩個臨時停車場，它們各有50個車位，為了方便市民停車，某網際網路停車公司對這兩個停車場在工作日某些固定時刻的剩餘停車位進行記錄，如下表：
如果表中某一時刻停車場剩餘停車位數低於總車位數的10%，那麼當車主驅車抵達單位附近時，該公司將會向車主發出停車場飽和警報.
（ⅰ）假設某車主在以上六個時刻抵達單位附近的可能性相同，求他收到甲停車場飽和警報的概率；
（ⅱ）從這六個時刻中任選乙個時刻，求甲停車場比乙停車場剩餘車位數少的概率；
（ⅲ）當停車場乙發出飽和警報時，求停車場甲也發出飽和警報的概率.
18．（本小題14分）
如圖，在四稜柱中，側面和側面都是矩形，，是邊長為2的正三角形，，分別為，的中點.
（ⅰ）求證： 平面；
（ⅱ）求證：平面平面；
（ⅲ）若平面，求稜的長度.
19．（本小題13分）
設函式，．
（ⅰ）當時，試求的單調增區間；
（ⅱ）試求在上的最大值；
（ⅲ）當時，求證：對於，恆成立．
20．（本小題14分）
已知橢圓.
（ⅰ）若橢圓的右焦點座標為，求的值；
（ⅱ）由橢圓上不同三點構成的三角形稱為橢圓的內接三角形.若以為直角頂點的橢圓的內接等腰直角三角形恰有三個，求的取值範圍.
北京市東城區2016-2017學年第二學期高三綜合練習（二）
數學（文科）參***及評分標準
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1．d二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9. 10.
11.3，812.5
13. 14. ,
注：兩個空的填空題第乙個空填對得3分，第二個空填對得2分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（本小題13分）
解：（ⅰ）因為，
所以於是，
所以6分
（ⅱ）因為，
所以.於是，
令，則.
顯然數列是等比數列，且，公比，
所以數列的前項和13分
16.（本小題13分）
解：（ⅰ）由已知最小正週期為,
所以,解得.
因為的最大值，
所以.所以的解析式為.
5分（ⅱ）因為
所以==
=因為於是，當時，取得最大值；
當取得最小值．
13分17．（本小題13分）
解：（ⅰ）事件「該車主收到停車場甲飽和警報」只有10點這一種情況，
該車主抵達單位共有六種情況，
所以該車主收到停車場甲飽和警報的概率為4分
（ⅱ）事件「甲停車場比乙停車場剩餘車位數少」有8點、10點、18點三種情況，
一共有六個時刻，
所以甲停車場比乙停車場剩餘車位數少的概率為9分
（ⅲ）事件「停車場乙發出飽和警報」有10點、12點、14點三種情況，
事件「停車場甲也發出飽和警報」只有10點一種情況，
所以當停車場乙發出飽和警報時，停車場甲也發出飽和警報的概率為
13分18．（本小題14分）
解：（ⅰ）因為側面和側面都是矩形，
所以，且.
因為，所以平面4分
（ⅱ）因為是正三角形，且為中點，
所以.因為平面，
而平面，
所以.因為，
所以平面.
因為平面，
所以平面平面10分
（ⅲ）因為，
而為的中點，
所以.所以四點共面.
因為平面，
而平面平面，
所以.所以四邊形是平行四邊形.
所以14分
19．（本小題13分）
解：（ⅰ）由得．
當時，，令，得，
所以的單調增區間為4分
（ⅱ）令得．
所以當時，時恆成立，單調遞增；
當時，時恆成立，單調遞減；
當時，時，單調遞減；
時，單調遞增．
綜上，無論為何值，當時，最大值都為或．
，，所以當時，，.
當時10分
（ⅲ）令，所以.
所以.令，
解得，所以當，，單調遞減；
當，，單調遞增.
所以當時，.
所以函式在單調遞增.
所以.所以，恆成立．……………………13分
20．（本小題14分）
解：（ⅰ）橢圓的方程可以寫成，因為焦點在軸上，所以，
，求得4分
（ⅱ）設橢圓內接等腰直角三角形的兩直角邊分別為，，設，
顯然與不與座標軸平行，且
可設直線的方程為，則直線的方程為，
由消去得到，所以
求得同理可求
因為為以為直角頂點的等腰直角三角形，所以，
所以，整理得
所以或，設
因為以為直角頂點的橢圓內接等腰直角三角形恰有三個，
所以關於的方程有兩個不同的正實根，，且都不為
所以實數的取值範圍是.
……………………14分
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