北京市豐台區2023年高三二模 2012.5
數學（文科）
第一部分 （選擇題共40分）
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．複數的虛部是
2．設，是向量，命題「若，則」的否命題是
3．設等比數列的前n項和為，若，，則的值為
4．如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1中，m，n，p，q分別是aa1，a1d1，cc1，bc的中點，給出以下四個結論：①a1c⊥mn；②a1c∥平面mnpq；③a1c與pm相交；④nc與pm異面．其中不正確的結論是
5．函式
6．在△abc中，∠bac=90，d是bc的中點，ab=4，ac=3，則=
7．已知函式的圖象如圖所示，則函式的圖象可能是
8．已知平面上四個點，，，．設是四邊形及其內部的點構成的集合，點是四邊形對角線的交點，若集合，則集合s所表示的平面區域的面積為
第二部分 （非選擇題共110分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
9．已知集合a =｛x｜2x-x2>0｝，b =｛x｜x>1｝，則______．
10．某地區恩格爾系數與年份的統計資料如下表：
從散點圖可以看出y與x線性相關，且可得回歸方程為，則=______，據此模型可**2023年該地區的恩格爾系數(%)為______．
11．已知，則的值為______．
12．執行如右圖所示的程式框圖，則輸出的結果是______．
13．已知雙曲線上一點m到兩個焦點的距離分別
為20和4，則該雙曲線的離心率為______．
14．在平面直角座標系中，若點，同時滿足：①點，都在函式圖象上；②點，關於原點對稱，則稱點對(,)是函式的乙個「姐妹點對」（規定點對(,)與點對(,)是同乙個「姐妹點對」）．那麼函式的「姐妹點對」的個數為_______．
三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
15.（本小題共13分）
已知函式．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求函式在區間上的最小值，並求使取得最小值時的x的值．
16.（本小題共13分）
某地區農科所為了選擇更適應本地區種植的棉花品種，在該地區選擇了5塊土地，每塊土地平均分成面積相等的兩部分，分別種植甲、乙兩個品種的棉花，收穫時測得棉花的畝產量如下圖所示：
（ⅰ）請問甲、乙兩種棉花哪種畝產量更穩定，並說明理由；
（ⅱ）求從種植甲種棉花的5塊土地中任選2塊土地，這兩塊土地的畝產量均超過種植甲種棉花的5塊土地的總平均畝產量的概率．
17.（本小題共14分）
如圖所示，四稜錐p-abcd中，底面abcd是邊長為2的菱形，q是稜上的動點．
（ⅰ）若q是pa的中點，求證：pc//平面bdq；
（ⅱ）若pb=pd，求證：bd⊥cq；
（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，若pa=pc，pb=3，
∠abc=60，求四稜錐p-abcd的體積．
18.（本小題共13分）
已知等差數列的公差，該數列的前n項和為，且滿足．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，，求數列的通項公式．
19.（本小題共14分）
在平面直角座標系xoy中，橢圓的中心在原點，焦點，在軸上，焦距為，是橢圓上一動點，的面積最大值為．
（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）過點的直線交橢圓於兩點，交軸於點，若，，求證：為定值．
20.（本小題共13分）
已知函式f(x)=lnx，，兩函式圖象的交點在x軸上，且在該點處切線相同．
（ⅰ）求a，b的值；
（ⅱ）求證：當x>1時，f(x)（ⅲ）證明：（）．
（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）
北京市豐台區2023年高三二模
數學（文科）參***
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
910． -2，31.2511．
12． 631314．1
注：第10題第乙個空答對得3分，第二個空填對得2分．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
15．解：因為＝
7分（ⅱ）因為，
所以當，即時，函式有最小值是．
當時，函式有最小值是13分
16．解：（ⅰ）由莖葉圖可知甲種棉花的平均畝產量為：，
方差為．
乙種棉花的平均畝產量為：，
方差為．
因為，所以乙種棉花的平均畝產量更穩定8分
（ⅱ）從種植甲種棉花的5塊土地中任選2塊土地的所有選法有(95，102)，(95，105)，(95，107)，
(95，111)，(102，105)，(102，107)，(102，111)，(105，107)，(105，111)，(107，111) 共10種，
設「畝產量均超過種植甲種棉花的5塊土地的總平均畝產量」為事件a，
包括的基本事件為(105，107)，(105，111)，(107，111)共3種．
所以13分
答：兩塊土地的畝產量均超過種植甲種棉花的5塊土地的總平均畝產量的概率為．
17．證明：（ⅰ）鏈結ac，交bd於o．
因為底面abcd為菱形，
所以 o為ac中點
因為 q是pa的中點，
所以 oq// pc，
因為oq平面bdq，pc平面bdq，
所以pc//平面bdq5分
（ⅱ）因為底面abcd為菱形，
所以 ac⊥bd，o為bd中點．
因為 pb=pd，
所以 po⊥bd．
因為 po∩bd =o，
所以 bd ⊥平面pac．因為 cq平面pac，
所以 bd⊥cq10分
（ⅲ）因為 pa=pc，
所以 △pac為等腰三角形 ．
因為 o為ac中點，
所以 po⊥ac．
由（ⅱ）知 po⊥bd，且ac∩bd =o，
所以 po⊥平面abcd，即po為四稜錐p-abcd的高．
因為四邊形是邊長為2的菱形，且∠abc=60，
所以bo=，
所以po=．
所以，即14分
18．解：（ⅰ）因為
所以，即．
因為，，
所以．所以．所以6分
（ⅱ）因為，
所以，，
……相加得
13分即．
19．解：（ⅰ）設橢圓的標準方程為．
因為焦距為，所以c=．
當點p在短軸的頂點時，p到f1f2的距離最大，
所以此時△pf1f2的面積最大，
所以， 所以．
因為， 所以，
橢圓方程為5分
（ⅱ）依題意，直線的斜率存在，可設為，則直線：．
設，，聯立消y得．
顯然，且，．
因為直線交軸於點，所以．
所以，，且
所以，同理．
所以.即為定值是14分
20．解：（ⅰ）因為與的圖象在軸上有公共點(1，0)，
所以，即．
又因為，，
由題意，
所以4分
（ⅱ）設，
則．所以在時單調遞減．
由可得當時，即9分
（ⅲ）由（ⅱ）得， ．
令，則，
所以，．
將上述n個不等式依次相加得 ，
所以13分
（若用其他方法解題，請酌情給分）
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