北京市順義區2015屆高三第一次統一練習
數學試卷（理科）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）
1.已知集合，，則
2.在復平面內，複數對應的點位於
第一象限第二象限第三象限第四象限
3.是「曲線關於軸對稱」的
充分而不必要條件必要而不充分條件
充分必要條件既不充分也不必要條件
4.當時，執行如圖所示的程式框圖，輸出的值為
5.若，則的取值範圍是
6.若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為
7.若滿足且的最小值為，則的值為
8.已知為定義在上的偶函式，當時，有，且當時，
，給出下列命題
1函式在定義域上是週期為2的函式；
③直線與函式的圖象有2個交點；④函式的值域為.
其中正確的是
二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）
9.已知圓的極座標方程為，圓心為，點的極座標為，
則10．設向量，若，則實數
11.已知無窮數列滿足：.則數列的前項和的最小值為
12. 如圖，在圓內接四邊形中， //，過點作圓的切線與的延長線交於點.若，
則13. 如果在一周內（周一至週日）安排四所學校的學生參觀順義啤酒廠，每天最多隻安排一所學校，要求甲學校連續參觀兩天，其餘學校均只參觀一天，那麼不同的安排方法有_________種（用數字作答）.
14.已知函式又且的最小值等於.則的值為
三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
在中,角所對的邊分別為,已知,.
(i)求的值;
(ii)求的值.
16.（本小題滿分13分）
某農民在一塊耕地上種植一種作物，每年種植成本為元，此作物的市場**和這塊地上的產量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：
（i）設表示該農民在這塊地上種植1年此作物的利潤，求的分布列；
（ii）若在這塊地上連續3年種植此作物，求這3年中第二年的利潤少於第一年的概率.
17.（本小題滿分14分）
如圖，在四稜錐中，底面為直角梯形， //，，平面底面，為的中點，是稜的中點，
（i）求證：；
（ii）求直線與平面所成角的正弦值；
（iii）求二面角的余弦值.
18.（本小題滿分13分）
已知函式.
（i）當時，求函式的單調區間；
（ii）設，且函式在點處的切線為，直線//，且在
軸上的截距為1.求證：無論取任何實數，函式的圖象恆在直線的下方.
19.（本小題滿分14分）
已知橢圓
（i）求橢圓的離心率；
（ii）設橢圓上在第二象限的點的橫座標為，過點的直線與橢圓的另一交點分別為.且的斜率互為相反數，兩點關於座標原點的對稱點分別為,求四邊形的面積的最大值.
20.（本小題滿分13分）
已知二次函式的圖象的頂點座標為，且過座標原點.數列的前項和為，點在二次函式的圖象上.
（i）求數列的通項公式；
（ii）設，數列的前項和為，若對恆成立，求實數的取值範圍；
（iii）在數列中是否存在這樣一些項：
，這些項都能夠構成以為首項，為公比的等比數列？若存在，寫出關於的表示式；若不存在，說明理由.
順義區2015屆高三第一次統練數學試卷答案（理科）
一、cbad dcbc
二、9. 10. 11. -30 12.360 13.4， 14.
三、15.解
解:(i)在中,因為,
所以,即2分
所以4分
5分由正弦定理,得7分
(ii)因為,即,
所以為鈍角,為銳角.
由(i)可知, ,
所以9分
又10分
所以11分
12分13分
16.解（i）設表示事件「作物產量為300kg」，表示事件「作物市場**為
6元/kg」，
由題意知1分
因為利潤產量市場**成本
所以的所有可能的取值為
6分所以的分布列為
7分（ii）
這3年中第二年的利潤少於第一年的概率為
13分17.
（i）證明：在中，為中點.
所以1分
因為平面底面，且平面底面
所以底面3分
又平面所以4分
（ii）解：在直角梯形中， //為中點
所以所以四邊形為平行四邊形
因為所以
由（i）可知平面
所以，以為座標原點，建立空間直角座標系，如圖.
則所以6分
設平面的法向量為則
即亦即令，得所以8分
設直線與平面所成角為，則
所以與平面所成角的正弦值為10分
（iii）解：如（ii）中建立空間直角座標系
因為所以平面
即為平面的法向量，且11分
因為是稜的中點
所以點的座標為
又設平面的法向量為則即
令得所以13分
所以由題知，二面角為銳角
所以二面角的余弦值為14分
18.（i）解：
2分所以，時，與的變化情況如下：
因此，函式的單調遞增區間為；
單調遞減區間位6分
（ii）證明：
所以所以的斜率為7分
因為//，且在軸上的截距為
所以直線的方程為8分
令則無論取任何實數，函式的圖象恆在直線的下方，等價於
9分而10分
當時，，當時，
所以函式在上單調遞增，在上單調遞減
從而當時，取得最大值
即在上，取得最大值12分
所以因此，無論取任何實數，函式的圖象恆在直線的下方13分
19.解：（i）由題意，橢圓的標準方程為
所以從而
因此，故橢圓的離心率4分
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