湖北省黃石三中2014-2015學年高二上學期期中數學試卷（文科）
一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）
1．（5分）頂點在原點，且過點（﹣4，4）的拋物線的標準方程是（）
a． y2=﹣4x b． x2=4y
c． y2=﹣4x或x2=4y d． y2=4x或x2=﹣4y
2．（5分）命題「a，b都是偶數，則a與b的和是偶數」的逆否命題是（）
a． a與b的和是偶數，則a，b都是偶數
b． a與b的和不是偶數，則a，b都不是偶數
c． a，b不都是偶數，則a與b的和不是偶數
d． a與b的和不是偶數，則a，b不都是偶數
3．（5分）橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，則這個橢圓的標準方程為（）
a． +=1
b． +=1
c． +=1或+=1
d． +=1或+=1
4．（5分）已知兩定點f1（5，0），f2（﹣5，0），曲線上的點p到f1、f2的距離之差的絕對值是6，則該曲線的方程為（）
a． b．
c． d．
5．（5分）如果方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值範圍是（）
a． 3＜m＜4 b． c． d．
6．（5分）若直線l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0與直線l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，則a的值是（）
a． ﹣3 b． 1 c． 0或 d． 1或﹣3
7．（5分）已知圓c的方程是x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，過點m（3，0）的最短弦所在的直線方程是（）
a． x+y﹣3=0 b． x﹣y﹣3=0 c． 2x﹣y﹣6=0 d． 2x+y﹣6=0
8．（5分）設函式f（x）在定義域內可導，y=f（x）的圖象如圖所示，則導函式y=f′（x）可能為（）
a． b． c． d．
9．（5分）雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別是f1，f2，過f1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支於m點，若mf2垂直於x軸，則雙曲線的離心率為（）
a． b． c． d．
10．（5分）設函式y=f（x）在（a，b）上的導函式為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導函式為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恆成立，則稱函式函式f（x）在（a，b）上為「凸函式」．已知當m≤2時，f（x）=x3﹣+x在（﹣1，2）上是「凸函式」．則f（c）在（﹣1，2）上（）
a． 既有極大值，也有極小值 b． 既有極大值，也有最小值
c． 有極大值，沒有極小值 d． 沒有極大值，也沒有極小值
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分．
11．（5分）命題：x∈r，x2﹣x+1=0的否定是．
12．（5分）函式f（x）=x3+4x+5的圖象在x=1處的切線在x軸上的截距為 ．
13．（5分）已知實數x，y滿足（x﹣2）2+y2=3，則的取值範圍是．
14．（5分）若曲線y=ax2﹣lnx在點（1，a）處的切線平行於x軸，則a=．
15．（5分）設ab是橢圓的不垂直於對稱軸的弦，m為ab的中點，o為座標原點，則kabkom=．
16．（5分）已知直線l1：4x﹣3y+6=0和直線l2：x=﹣1，拋物線y2=4x上一動點p到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是．
17．（5分）在平面直角座標系中，定義d（p，q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為兩點p（x1，y1），q（x2，y2）之間的「折線距離」．在這個定義下，給出下列命題：
①到原點的「折線距離」等於1的點的集合是乙個正方形；
②到原點的「折線距離」等於1的點的集合是乙個圓；
③到m（﹣1，0），n（1，0）兩點的「折線距離」之和為4的點的集合是面積為6的六邊形；
④到m（﹣1，0），n（1，0）兩點的「折線距離」差的絕對值為1的點的集合是兩條平行線．
其中正確的命題是．（寫出所有正確命題的序號）
三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
18．（12分）設命題p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命題q：不等式4x≥4ax2+1的解集是，若「p或q」為真命題，試求實數a的值取值範圍．
19．（12分）已知直線l過點p（1，1），並與直線l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分別交於點a、b，若線段ab被點p平分．
求：（1）直線l的方程；
（2）以o為圓心且被l截得的弦長為的圓的方程．
20．（13分）已知拋物線c：y2=2px，且點p（1，2）在拋物線上．
（1）求p的值
（2）直線l過焦點且與該拋物線交於a、b兩點，若|ab|=10，求直線l的方程．
21．（14分）已知函式f（x）=x3﹣3a2x+1
（1）若a=1，求函式f（x）的單調區間；
（2）已知a＞0，若x∈，f（x）≥0恆成立，求實數a的取值範圍．
22．（14分）橢圓的兩焦點座標分別為和，且橢圓過點．
（1）求橢圓方程；
（2）過點作不與y軸垂直的直線l交該橢圓於m、n兩點，a為橢圓的左頂點，試判斷∠man的大小是否為定值，並說明理由．
湖北省黃石三中2014-2015學年高二上學期期中數學試卷（文科）
參***與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）
1．（5分）頂點在原點，且過點（﹣4，4）的拋物線的標準方程是（）
a． y2=﹣4x b． x2=4y
c． y2=﹣4x或x2=4y d． y2=4x或x2=﹣4y
考點： 拋物線的標準方程．
專題： 計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．
分析： 依題意，設拋物線的標準方程為x2=2py（p＞0）或y2=﹣2px（p＞0），將點（﹣4，4）的座標代入拋物線的標準方程，求得p即可．
解答： 解：∵拋物線的頂點在原點，且過點（﹣4，4），
∴設拋物線的標準方程為x2=2py（p＞0）或y2=﹣2px（p＞0），
將點（﹣4，4）的座標代入拋物線的標準方程x2=2py（p＞0）得：16=8p，
∴p=2，
∴此時拋物線的標準方程為x2=4y；
將點（﹣4，4）的座標代入拋物線的標準方程y2=﹣2px（p＞0），同理可得p=2，
∴此時拋物線的標準方程為y2=﹣4x．
綜上可知，頂點在原點，且過點（﹣4，4）的拋物線的標準方程是x2=4y或y2=﹣4x．
故選c．
點評： 本題考查拋物線的標準方程，得到所求拋物線標準方程的型別是關鍵，考查待定係數法，屬於中檔題．
2．（5分）命題「a，b都是偶數，則a與b的和是偶數」的逆否命題是（）
a． a與b的和是偶數，則a，b都是偶數
b． a與b的和不是偶數，則a，b都不是偶數
c． a，b不都是偶數，則a與b的和不是偶數
d． a與b的和不是偶數，則a，b不都是偶數
考點： 四種命題間的逆否關係．
專題： 簡易邏輯．
分析： 根據原命題和它的逆否命題的概念即可找出原命題的逆否命題．
解答： 解：原命題的逆否命題為：
a與b的和不是偶數，則a，b不都是偶數．
故選d．
點評： 考查原命題、逆否命題的概念，以及都是的否定是不都是．
3．（5分）橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，則這個橢圓的標準方程為（）
a． +=1
b． +=1
c． +=1或+=1
d． +=1或+=1
考點： 橢圓的標準方程．
專題： 圓錐曲線的定義、性質與方程．
分析： 由已知條件求出a，b，再由焦點在x軸和焦點在y軸兩種情況進行分類討論，能求出橢圓的標準方程．
解答： 解：∵橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，
∴，解得a=5，b2=25﹣16=9，
∴當橢圓焦點在x軸時，橢圓方程為，
當橢圓焦點在y軸時，橢圓方程為．
故選：d．
點評： 本題考查橢圓的標準方程的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．
4．（5分）已知兩定點f1（5，0），f2（﹣5，0），曲線上的點p到f1、f2的距離之差的絕對值是6，則該曲線的方程為（）
a． b．
c． d．
考點： 雙曲線的定義．
專題： 計算題．
分析： 利用雙曲線的定義判斷出動點的軌跡；利用雙曲線中三引數的關係求出b，寫出雙曲線的方程．
解答： 解：據雙曲線的定義知，
p的軌跡是以f1（5，0），f2（﹣5，0）為焦點，以實軸長為6的雙曲線．
所以c=5，a=3
b2=c2﹣a2=16，
所以雙曲線的方程為：
故選a．
點評： 本題考查雙曲線的定義：要注意定義中「差的絕對值」且「差的絕對值」要小於兩定點間的距離．注意雙曲線中三引數的關係．
5．（5分）如果方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值範圍是（）
a． 3＜m＜4 b． c． d．
考點： 橢圓的定義．
專題： 計算題．
分析： 進而根據焦點在y軸推斷出4﹣m＞0，m﹣3＞0並且m﹣3＞4﹣m，求得m的範圍．
解答： 解：由題意可得：方程表示焦點在y軸上的橢圓，
所以4﹣m＞0，m﹣3＞0並且m﹣3＞4﹣m，
解得：．
故選d．
點評： 本題主要考查了橢圓的標準方程，解題時注意看焦點在x軸還是在y軸．
6．（5分）若直線l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0與直線l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，則a的值是（）
a． ﹣3 b． 1 c． 0或 d． 1或﹣3
考點： 兩條直線垂直的判定．
專題： 計算題．
分析： 利用兩條直線垂直的充要條件列出方程，求出a的值．
解答： 解：∵l1⊥l2
∴a（1﹣a）+（a﹣1）×（2a+3）=0，即（a﹣1）（a+3）=0
解得a=1或a=﹣3
故選d．
點評： 本題考查兩直線垂直的充要條件：l1：a1x+b1y+c1=0；l2：a2x+b2y+c2=0垂直a1a2+b1b2=0，如果利用斜率必須分型別解答．
7．（5分）已知圓c的方程是x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，過點m（3，0）的最短弦所在的直線方程是（）
a． x+y﹣3=0 b． x﹣y﹣3=0 c． 2x﹣y﹣6=0 d． 2x+y﹣6=0
考點： 直線與圓的位置關係．
專題： 直線與圓．
分析： 由題意可得點m（3，0）在圓的內部，故當直線和cm垂直時，弦長最短，求出最短的弦所在直線的斜率，用點斜式求得過點m（3，0）的最短弦所在的直線方程．
解答： 解：圓x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，即 （x﹣4）2+（y﹣1）2 =7，表示以c（4，1）為圓心，半徑等於的圓，顯然點m（3，0）在圓的內部，
故當直線和cm垂直時，弦長最短，
故最短的弦所在直線的斜率為==﹣1，故過點m（3，0）的最短弦所在的直線方程是y﹣0=﹣（x﹣3），即x+y﹣3=0，
故選：a．
點評： 本題主要考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式的應用，用點斜式求直線的方程，屬於基礎題．
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