廣東實驗中學2012—2013學年（上）高二級模組考試
理科數學
本試卷分基礎檢測與能力檢測兩部分，共4頁．滿分為150分。考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答卷上，並用2b鉛筆填塗學號．
2．選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑；如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案標號，不能答在試題卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液．不按以上要求作答的答案無效．
第一部分基礎檢測(共100分)
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．下列說法正確的是（ ）
a．在平面內到乙個定點的距離等於到定直線距離的點的軌跡是拋物線
b．在平面內到兩個定點的距離之和等於定長的點的軌跡是橢圓
c．在平面內與兩個定點的距離之差的絕對值等於定長的點的軌跡是雙曲線
d．在平面內到一定點距離等於定長（不等於零）的點的軌跡是圓
2．橢圓的中心在原點，焦距為4，一條準線為x=3，則該雙曲線方程為
a． b. c. d.
3．雙曲線上的一點p到它乙個焦點的距離為4，則點p到另一焦點的距離是（ ）
a．2b.10c.10或2d.14
4．直線與圓的位置關係是（ ）
a．相交且過圓心 b. 相交但不過圓心 c. 相切 d. 相離
5．如右圖所示的不等式的區域為
a． b
c． d
6．橢圓，點m在橢圓上，等於-2，則△f1mf2的面積等於（ ）
a．1 bc．2d．
7．已知對稱中心在原點，對稱軸為座標軸的雙曲線的漸近線為，則此雙曲線的離心率為（ ）
abc.或d.
8．已知直線交拋物線於、兩點，則△( )
a．為直角三角形b．為銳角三角形
c．為鈍角三角形d．前三種形狀都有可能
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
9．拋物線x2= -y的焦點為________，準線是
10．過雙曲線的右焦點，且傾斜角為45°的直線交雙曲線於點a、b，則|ab
11．過點（0,4）可作條直線與雙曲線有且只有乙個公共點.
12．已知f為拋物線y2 = 4x的焦點，過此拋物線上的點m作其準線的垂線，垂足為n，若以線段nf為直徑的圓c恰好經過點m，則圓的標準方程是
13．如圖，過橢圓c：的左頂點a且斜率為k的直線交橢圓c於另乙個點b，且點b在x軸上的射影恰好為右焦點f，若，則橢圓離心率的取值範圍是
三、解答題：本大題共3小題，共35分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
14．（本題滿分12分）
求下列圓錐曲線的標準方程
（1）以雙曲線的頂點為焦點，離心率e=的橢圓
（2）準線為，且a+c=5的雙曲線
（3）焦點在y軸上，焦點到原點的距離為2的拋物線
15．（本題滿分12分）
已知圓，圓，點p滿足
（1）求動點p的軌跡方程；
（2）過點q（1,2）能否做直線ab與p的軌跡交於a、b兩點，並且使q是ab的中點？如果存在，求出直線ab的方程；若不存在，請說明理由。
16．（本題滿分11分）
某公司計畫在甲、乙兩個電視台做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元.甲、乙電視台的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個電視台為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.
3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個電視台的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？
第二部分能力檢測(共50分)
四、填空題：本大題共2小題，每小題5分，共10分．
18．如圖，已知橢圓，o為原點，點m是橢圓右準線上的動點，以om為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓交於p、q兩點，直線pq與橢圓相交於a、b兩點，則|ab|的取值範圍是
五、解答題：本大題共3小題，共40分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
19．（本題滿分12分）
已知圓c：（x-1）2+(y+2)2=9,直線l：（m+1）x-y-2m-3=0(m∈r)
（1）求證：無論m取什麼實數，直線恆與圓交於兩點；
（2）求直線l被圓c所截得的弦長最小時的直線方程.
20．（本題滿分13分）
a村在c村正北km處，b地在c村正西16km處，已知弧形公路pq上任一點到b、c兩點的距離之差為8km.
（1）如圖，以bc中點o為原點，建立座標系，求弧形公路pq所在曲線的方程；
（2）現要在公路旁建造乙個變電站m分別向a村、c村送電，但a村有一村辦工廠用電需用專用線路，不得與民用混線用電，因此向a村要架兩條線路分別給村民和工廠送電. 要使用電線最短，變電站m應建在a村的什麼方位，並求出m到a村的距離.
21.（本題滿分15分）
點p到x軸的距離比它到點（0,1）的距離小1，稱點p的軌跡為曲線c，點m為直線l：
y=－m (m>0)上任意一點，過點m作曲線c的兩條切線ma，mb，切點分別為a,b．
（1）求曲線c的軌跡方程；
（2）當m的座標為（0，－l）時，求過m，a，b三點的圓的標準方程，並判斷直線l與此圓的位置關係；
（3）當m變化時，試**直線l上是否存在點m，使ma ⊥mb?若存在，有幾個這樣的點，若不存在，請說明理由。
高二理科數學參***
9．（0，），y= 10.4 11. 3 1213.
14. （12分）求下列圓錐曲線的標準方程
（1）以雙曲線的頂點為焦點，離心率e=的橢圓
（2）準線為，且a+c=5的雙曲線
（3）焦點在y軸上，焦點到原點的距離為2的拋物線
解：（1）（4分）橢圓焦點為（0，），∴c2
a=2 b2=23
∴所求橢圓方程為4
（2）（4分解得a=2，c=3 ∴b2=5 …………2分
所求雙曲線方程為4分
（3）（4分）據題意，焦點座標為（0，），∴p=42分
∴所求拋物線方程為x2=8y4分（少乙個扣1分）
15. （12分）已知圓，圓，點p滿足
（1）求動點p的軌跡方程；
（2）過點q（1,2）能否做直線ab與p的軌跡交於a、b兩點，並且使q是ab的中點？如果存在，求出直線ab的方程；若不存在，請說明理由。
解：（1）（5分）設p（x,y），據題意，得，o1（-3,0），o2（3,01分
3分整理得5分（沒有範圍扣1分）
（2）（7分）設a（x1，y1），b（x2，y2），若存在，則x1+x2=2，y1+y2=41分
∵點a、b在動點p的軌跡上2分
4分此時kab=1 ∴ab：y=x+15分
整理得此時△>0,
∴這樣的直線存在，它的方程為y=x+17分（沒有判斷△，扣1分）
16.（11分）某公司計畫在甲、乙兩個電視台做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元.甲、乙電視台的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘.
假定甲、乙兩個電視台為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.
問該公司如何分配在甲、乙兩個電視台的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？
解：設該公司分配在甲、乙兩個電視台的廣告時間分別為x分鐘、y分鐘，收益為z萬元1分
則4分目標函式z=0.3x+0.2y5分
可行域如圖所示7分
求得a（100,2009分
當目標函式過a點時，z取得最大值，此時z=70
答：該公司分配給甲、乙兩個電視台的廣告時間分別為100分鐘和200分鐘時，公司收益最大，為70萬元11分
1718.
17.【解析】①x2﹣y2=1 是乙個等軸雙曲線，沒有自公切線；
②=，在 x= 和 x=﹣ 處的切線都是y=﹣，故②有自公切線．
③=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函式是週期函式，過圖象的最高點的切線都重合，故此函式有自公切線．
④由於，即 x2+2|x|+y2﹣3=0，結合圖象可得，此曲線沒有自公切線．
19. （12分）已知圓c：（x-1）2+(y+2)2=9,直線l：（m+1）x-y-2m-3=0(m∈r)
（1）求證：無論m取什麼實數，直線恆與圓交於兩點。
（2）求直線l被圓c所截得的弦長最小時的直線方程。
解：（1）（5分）∵l：m(x-2)+(x-y-3)=0
∴直線l恆過的交點，即（2,-1） ...2分
將點（2,-1）代入圓c的方程得（2-1）2+（-1+2）2=2<9 ∴點（2,-1）在圓內 ....4分
∴ 無論m取什麼值，直線恆與圓相交5分
（2）（7分）由垂徑定理：，（a表示弦長，r表示半徑，d表示圓心到直線的距離） 當d越大的時候，弦長a越小
根據垂線段最短可知，當l⊥ca時，直線l被圓c所截得的弦長最小3分
此時kca=1，則kl=-15分
∴直線l的方程為 y=-（x-2）-1 即x+y-1=07分
20.（本題滿分13分）a村在c村正北km處，b地在c村正西16km處，已知弧形公路pq上任一點到b、c兩點的距離之差為8km.
（1）如圖，以bc中點o為原點，建立座標系，求弧形公路pq所在曲線的方程；
（2）現要在公路旁建造乙個變電站m分別向a村、c村送電，但a村有一村辦工廠用電需用專用線路，不得與民用混線用電，因此向a村要架兩條線路分別給村民和工廠送電. 要使用電線最短，變電站m應建在a村的什麼方位，並求出m到a村的距離.
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