湛江市2017—2018學年度第一學期期末調研考試
高中數學(必修⑤、選修1-1)試卷
說明：本卷滿分150分．考試用時120分鐘．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若是假命題，則
a．是真命題，是假命題b．均為假命題
c．至少有乙個是假命題d．至少有乙個是真命題
2．乙個等比數列的第項和第項分別是和，則該數列的第項等於
abcd．
3．已知中，角a、b的對邊為、,，，，則等於
a．或 b．或 cd．
4．曲線在點處的切線方程為（注：是自然對數的底）
a. b. c． d．
5．不等式組表示的平面區域的面積是
abcd．
6．已知為等差數列，，前項和，則公差
abcd.
7．函式的導函式的圖象如圖所示，則
a．是的最小值點
b．是的極小值點
c．是的極小值點
d．函式在上單調遞增
8. 雙曲線的一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是
abcd.
9．函式有極值的充分但不必要條件是
abc. d.
10．已知點是拋物線的焦點，、是拋物線上的兩點，且，則線段的中點到軸的距離為
abcd．
11．已知直線與橢圓總有公共點，則的取值範圍是
a． b． c． d．且
12．已知定義域為的函式的導函式是，且，若，則不等式的解集為
a． b． c． d．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13．命題「若，則」的逆否命題為
14．中，若，，且，則
15．若，則的最小值等於
16．設橢圓的左右焦點為，過作軸的垂線與交於
兩點，若是等邊三角形，則橢圓的離心率等於
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17.（本小題滿分10分）
已知的三個內角，，的對邊長分別為，，，．
（ⅰ）若，請判斷三角形的形狀；
（ⅱ）若，，求的邊的大小．
18.（本小題滿分12分）
等比數列的各項均為正數，且，（）.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）已知，求數列的前項和.
19.（本小題滿分12分）
已知橢圓的中心在座標原點，長軸長為，離心率，過右焦點的直線交橢圓於，兩點．
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）當直線的傾斜角為時，求的面積．
20.（本小題滿分12分）
某農場計畫種植甲、乙兩個品種的水果，總面積不超過畝，總成本不超過萬元．甲、乙兩種水果的成本分別是每畝元和每畝元．假設種植這兩個品種的水果，能為該農場帶來的收益分別為每畝萬元和每畝萬元．問該農場如何分配甲、乙兩種水果的種植面積，可使農場的總收益最大？最大收益是多少萬元？
21.（本小題滿分12分）
設函式． 在
（ⅰ）求函式的單調區間；
（ⅱ）若方程有且僅有三個實根，求實數的取值範圍.
22.（本小題滿分12分）
如圖，設拋物線的焦點為f，拋物線上的點a到y軸的距離等於.
（ⅰ）求p的值；
（ⅱ）若直線af交拋物線於另一點b，過b與x軸平行
的直線和過f與ab垂直的直線交於點n，求n的橫座標
的取值範圍．
湛江市2017—2018學年度第一學期期末調研考試
高中數學（必修⑤、選修1-1）參***與評分標準
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．若，則； 14．11516．.
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 解：（ⅰ）由2分
得，即5分
又，∴ 三角形是等邊三角形5分
（ⅱ）由，得6分
又，∴7分由正弦定理得10分
18．解：（ⅰ）設等比數列的公比為，
1分 由解得：或（捨去3分
所求通項公式5分
（ⅱ）即6分
①2得 27分
8分……………9分
11分12分
19. 解：（ⅰ）由題得2分
解得4分
橢圓的方程為5分
（ⅱ），直線的方程是6分
由7分設8分
10分的面積是12分
20. 解：設甲、乙兩種水果的種植面積分別為x，y畝，農場的總收益為z萬元，則 ………1分
4分目標函式為， ……………5分
不等式組①等價於
可行域如圖所示7分
目標函式可化為
由此可知當目標函式對應的直線經過點m時，目標函式取最大值．…………………9分
解方程組得
的座標為10分
所以11分
答：分別種植甲乙兩種水果75畝和225畝，可使農場的總收益最大，最大收益為67.5萬元．
12分21. 解2分
令，得或；，得4分
增區間和；減區間是6分
（ⅱ）由（i）知當時,取極大值7分
當時,取極小值8分
因為方程僅有三個實根.所以10分
解得： ，
實數的取值範圍是12分
22.解：（ⅰ）由題意可得拋物線上點a到焦點f的距離等於點a到直線的距離.……………………2分
由拋物線的定義得，即p=24分
（ⅱ）由（ⅰ）得拋物線的方程為，可設5分
由題知af不垂直於y軸，可設直線, ,
由消去x得6分
故，所以7分
又直線ab的斜率為，故直線fn的斜率為，
從而的直線fn:，直線bn9分
由解得n的橫座標是，其中10分
或.綜上，點n的橫座標的取值範圍是12分
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