河南省南陽市2014-2015學年高二上學期期中數學試卷（理科）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（5分）已知數列，則是它的第（）項．
a． 19 b． 20 c． 21 d． 22
2．（5分）在△abc中，∠a=30°，ab=4，滿足此條件的△abc有兩解，則bc邊長度的取值範圍為（）
a． （2，4） b． （2，4） c． （4，+∞） d． （2，4）
3．（5分）若關於x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），則關於x的不等式的解集是（）
a1）∪（2，+∞） b． （﹣1，2） c． （﹣1，2） d． （﹣∞，1）∪（2，+∞）
4．（5分）已知為等比數列，下面結論中正確的是（）
a． a1+a3≥2a2 b． a12+a32≥2a22
c． 若a1=a3，則a1=a2 d． 若a3＞a1，則a4＞a2
5．（5分）△abc的內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，已知三角形abc的面積s=，則∠c的大小是（）
a． 45° b． 30° c． 90° d． 135°
6．（5分）對於數列，定義數列為數列an的「差數列」若a1=1，的「差數列」的通項公式為3n，則數列的通項公式an=（）
a． 3n﹣1 b． 3n+1+2 c． d．
7．（5分）在△abc中，若tanatanb＞1，則△abc是（）
a． 銳角三角形 b． 直角三角形 c． 鈍角三角形 d． 無法確定
8．（5分）若變數x，y滿足約束條件且z=5y﹣x的最大值為a，最小值為b，則a﹣b的值是（）
a． 48 b． 30 c． 24 d． 16
9．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在區間（1，+∞） 上有解，則實數a的取值範圍為（）
10．（5分）已知數列為等差數列，若＜﹣1，且它們的前n項和sn有最大值，則使得sn＞0的n的最大值為（）
a． 21 b． 20 c． 19 d． 18
11．（5分）設a＞b＞0，則的最小值是（）
a． 1 b． 2 c． 3 d． 4
12．（5分）數列的前n項和sn=n2+n+1；bn=（﹣1）nan（n∈n*）；則數列的前50項和為（）
a． 49 b． 50 c． 99 d． 100
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）不等式組的解集為．
14．（5分）已知3是9m與3n的等比中項，且m，n均為正數，則+的最小值為．
15．（5分）如圖，一貨輪航行到m處，測得燈塔s在貨輪的北偏東15°，與燈塔s相距20海浬，隨後貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘到達n處後，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為海浬/時．
16．（5分）已知f（x）是定義在r上不恒為零的函式，對於任意的x，y∈r，都有f（xy）=xf（y）+yf（x）成立． 數列滿足an=f（2n）（n∈n*），且a1=2．則數列的通項公式an=．
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知為等差數列，且a3=﹣6，a6=0．
（1）求的通項公式．
（2）若等比數列滿足b1=8，b2=a1+a2+a3，求的前n項和公式．
18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）對於任意x∈，不等式f（x）+t≤2恆成立，求t的範圍．
19．（12分）△abc的內角a，b，c的對邊分別是a，b，c，已知a，b，c成等差數列，△abc的面積為，
（1）求證：a，2，c，成等比數列；
（2）求△abc的周長l的最小值，並說明此時△abc的形狀．
20．（12分）某人上午7：00乘汽車以v1千公尺/小時（30≤v1≤100）勻速從a地出發到距300公里的b地，在b地不作停留，然後騎電單車以v2千公尺/小時（4≤v2≤20）勻速從b地出發到距50公里的c地，計畫在當天16：00至21：
00到達c地．設乘汽車、騎電單車的時間分別是x，y小時，如果已知所需的經費p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那麼v1，v2分別是多少時走的最經濟，此時花費多少元？
21．（12分）在△abc中，角a，b，c所對的邊分別是a，b，c．己知csina=acosc．
（ⅰ）求c；
（ⅱ）若c=，且sinc+sin（b﹣a）=3sin2a，求△abc的面積．
22．（12分）已知數列中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
（1）求數列的通項an；
（2）求數列的前n項和tn；
（3）若存在n∈n*，使得an≥（n+1）λ成立，求實數λ的取值範圍．
河南省南陽市2014-2015學年高二上學期期中數學試卷（理科）
參***與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（5分）已知數列，則是它的第（）項．
a． 19 b． 20 c． 21 d． 22
考點： 數列的概念及簡單表示法．
專題： 計算題．
分析： 根據數列的前幾項找規律，歸納出數列的通項公式，再令an=，解方程即可
解答： 解：數列，中的各項可變形為：
，，，，，…，
∴通項公式為an==，
令=，得，n=21
故選c點評： 本題考察了觀察法求數列的通項公式，以及利用通項公式計算數列的項的方法．
2．（5分）在△abc中，∠a=30°，ab=4，滿足此條件的△abc有兩解，則bc邊長度的取值範圍為（）
a． （2，4） b． （2，4） c． （4，+∞） d． （2，4）
考點： 正弦定理．
專題： 解三角形．
分析： 根據三角形有兩解，應滿足absin30°＜bc＜4，化簡即可．
解答： 解∵三角形abc有兩解，
∴absin30°＜bc＜4，
∴2＜bc＜4，
故選b．
點評： 本題主要考查正弦定理的應用，三角形解的情況的判定．
3．（5分）若關於x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），則關於x的不等式的解集是（）
a1）∪（2，+∞） b． （﹣1，2） c． （﹣1，2） d． （﹣∞，1）∪（2，+∞）
考點： 其他不等式的解法．
專題： 計算題．
分析： 關於x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），可解得a=b＞0，然後解分式不等式即可．
解答： 解：因為不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），所以a=b＞0，
所以等價於（x+1）（x﹣2）＞0，
所以x＜﹣1或x＞2
故選a．
點評： 本題考查了一次不等式與分式不等式的求解能力，分式不等式的解法，是基礎題．
4．（5分）已知為等比數列，下面結論中正確的是（）
a． a1+a3≥2a2 b． a12+a32≥2a22
c． 若a1=a3，則a1=a2 d． 若a3＞a1，則a4＞a2
考點： 等比數列的性質．
專題： 等差數列與等比數列．
分析： a1+a3=，當且僅當a2，q同為正時，a1+a3≥2a2成立；，所以；若a1=a3，則a1=a1q2，從而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，則a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正負由q的符號確定，故可得結論．
解答： 解：設等比數列的公比為q，則a1+a3=，當且僅當a2，q同為正時，a1+a3≥2a2成立，故a不正確；
，∴，故b正確；
若a1=a3，則a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故c不正確；
若a3＞a1，則a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正負由q的符號確定，故d不正確
故選b．
點評： 本題主要考查了等比數列的性質．屬基礎題．
5．（5分）△abc的內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，已知三角形abc的面積s=，則∠c的大小是（）
a． 45° b． 30° c． 90° d． 135°
考點： 餘弦定理．
專題： 解三角形．
分析： 已知等式利用三角形面積公式及餘弦定理化簡，整理求出tanc的值，即可確定出c的度數．
解答： 解：∵△abc中，s=absinc，a2+b2﹣c2=2abcosc，且s=，
∴absinc=abcosc，
整理得：sinc=cosc，即tanc=1，
則∠c=45°，
故選：a．
點評： 此題考查了餘弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．
6．（5分）對於數列，定義數列為數列an的「差數列」若a1=1，的「差數列」的通項公式為3n，則數列的通項公式an=（）
a． 3n﹣1 b． 3n+1+2 c． d．
考點： 數列的應用．
專題： 計算題；等差數列與等比數列．
分析： 依題意，a1=1，an+1﹣an=3n，利用累加法與等比數列的求和公式即可求得答案．
解答： 解：∵a1=1，an+1﹣an=3n，
∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=3n﹣1+3n﹣2+…+31+1==．
故選：c．
點評： 本題考查數列的求和，著重考查累加法與等比數列的求和公式，屬於中檔題．
7．（5分）在△abc中，若tanatanb＞1，則△abc是（）
a． 銳角三角形 b． 直角三角形 c． 鈍角三角形 d． 無法確定
考點： 三角形的形狀判斷．
專題： 綜合題．
分析： 利用兩角和的正切函式公式表示出tan（a+b），根據a與b的範圍以及tanatanb＞1，得到tana和tanb都大於0，即可得到a與b都為銳角，然後判斷出tan（a+b）小於0，得到a+b為鈍角即c為銳角，所以得到此三角形為銳角三角形．
解答： 解：因為a和b都為三角形中的內角，
由tanatanb＞1，得到1﹣tanatanb＜0，
且得到tana＞0，tanb＞0，即a，b為銳角，
所以tan（a+b）=＜0，
則a+b∈（ ，π），即c都為銳角，
所以△abc是銳角三角形．
故答案為：銳角三角形
點評： 此題考查了三角形的形狀判斷，用的知識有兩角和與差的正切函式公式．解本題的思路是：根據tanatanb＞1和a與b都為三角形的內角得到tana和tanb都大於0，即a和b都為銳角，進而根據兩角和與差的正切函式公式得到tan（a+b）的值為負數，進而得到a+b的範圍，判斷出c也為銳角．
8．（5分）若變數x，y滿足約束條件且z=5y﹣x的最大值為a，最小值為b，則a﹣b的值是（）
a． 48 b． 30 c． 24 d． 16
考點： 簡單線性規劃．
專題： 計算題；不等式的解法及應用．
分析： 先根據條件畫出可行域，設z=5y﹣x，再利用幾何意義求最值，將最小值轉化為y軸上的截距最大，只需求出直線，過可行域內的點b（8，0）時的最小值，過點a（4，4）時，5y﹣x最大，從而得到a﹣b的值．
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