江蘇省揚州中學2014-2015學年第一學期期中考試
高二數學試卷
2023年11月
（注：本試卷滿分160分，考試時間120分鐘，請將答案寫在答題紙上）
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分）
1．拋物線的焦點座標為
2．經過點（－2，3），且與直線垂直的直線方程為
3．以拋物線的焦點為圓心,且過座標原點的圓的方程為
4.已知無論取任何實數，直線必經過一定點，則該定點座標為
5.設直線與圓相交於、兩點，且弦的長為，則
6. 圓柱形容器內部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）後，水恰好淹沒最上面的球，則球的半徑是cm.
7. 如果規定：，則叫做關於相等關係具有傳遞性，那麼空間三直線關於相交、垂直、平行、異面、共面這五種關係中具有傳遞性的是
8.雙曲線的一條漸近線方程為，則
9．已知橢圓上一點p到左焦點的距離為,則它到右準線的距離為 ▲ .
10． 設和為不重合的兩個平面，給出下列命題：
（1）若內的兩條相交直線分別平行於內的兩條直線，則平行於；
（2）若外一條直線與內的一條直線平行，則和平行；
（3）設和相交於直線，若內有一條直線垂直於，則和垂直；
（4）直線與垂直的等價條件是與內的兩條直線垂直．
上面命題中，真命題的序號寫出所有真命題的序號）．
11.橢圓,為橢圓的兩個焦點且到直線的距離之和為，則離心率
12.若點在曲線上，則的最小值為
13.已知過點作直線與圓：交於兩點，且為線段的中點,則的取值範圍為
14．已知橢圓的離心率，a,b是橢圓的左、右頂點，p是橢圓上不同於a,b的一點，直線pa,pb傾斜角分別為，則
16．（本小題滿分14分）如圖，在四稜錐p‐abcd中，四邊形abcd為正方形，pa⊥平面abcd，e為pd的中點．求證：（1）pb∥平面aec；（2）平面pcd⊥平面pad．
17．（本小題滿分15分）如圖，在四稜柱中，已知平面，
且．(1)求證：;
(2)在稜bc上取一點e，使得∥平面，求的值．
18. （本小題滿分15分）學校科技小組在計算機上模擬太空飛行器變軌返回試驗．設計方案如圖：太空飛行器執行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即太空飛行器執行軌跡由橢圓變為拋物線）後返回的軌跡是以y軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分，降落點為．觀測點,同時跟蹤太空飛行器．
（1）求太空飛行器變軌後的執行軌跡所在的曲線方程；
（2）試問：當太空飛行器在x軸上方時，觀測點a、b測得離太空飛行器的距離分別為多少時，應向太空飛行器發出變軌指令？
19. （本小題滿分16分）
（1）求右焦點座標是，且經過點的橢圓的標準方程.
（2）已知橢圓,設斜率為的直線交橢圓於兩點，的中點為，證明：當直線平行移動時，動點在一條過原點的定直線上.
（3）利用（2）中所揭示的橢圓幾何性質,用作圖方法找出圖中的定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，並在圖中標出橢圓的中心.
20. （本小題滿分16分）在直角座標平面中，的兩個頂點為，平面內兩點同時滿足： 為的重心；到三點的距離相等；直線的傾斜角為.
（1）求證：頂點在定橢圓上，並求橢圓的方程；
（2）設都在曲線上，點，直線都過點並且相互垂直，求四邊形的面積的最大值和最小值.
高二數學期中試卷答題紙2014.11
一、 填空題：（本大題共14小題，每小題5分，計70分） 成績
1234
5678
9101112
1314
三、解答題（本大題共6小題，計90分）
15．解：
16．解：
17．解：
18．解：
19.解：
請將20題做在反面
高二數學期中試卷參*** 2014.11
1.；2.；3.；4.； 5. 0 ；6. 4；7. 平行；
8.； 9. 3 ； 10. （1）（2）； 11.；12. 2；13.；14.
15.解：由，得或；
當m=4時，l1：6x+7y-5=0，l2：6x+7y=5,即l1與l2重合，故捨去。
當時，即l1∥l2.∴當時，l1∥l2.
（2）由得或；
∴當m=-1或m=-時，l1⊥ l2.
16.解: 16.（1）證明：鏈結交於點，鏈結．
因為為中點，為中點，
所以4分
因為平面，平面，
所以平面7分
（2）證明：因為平面，平面，所以．………9分
因為在正方形中且，
所以平面12分
又因為平面，所以平面平面14分
17.證明：（1）在四邊形abcd中，因為ba=bc,da=dc，所以．
平面，且
所以．(2)點e為bc中點，即,
下面給予證明：在三角形abc中，因為ab=ac，卻e為bc中點，所以,
又在四邊形abcd中，ab=bc=ca=,da=dc=1，所以,
所以，即平面abcd中有，．
因為,所以.
18.解：（1）曲線方程為.
(2)設變軌點為，根據題意可知： 得，
得(捨去)，，（捨去），，，.
答：當觀測點a、b測得ac、bc距離分別為時，應向太空飛行器發出變軌指令．
19.解：（1）.
（2）設直線的方程為與橢圓的交點為，則聯立方程：，得，
即.則，
，中點的座標為。
的中點在過原點的直線上.
（3）作兩條平行直線分別交橢圓於和，並分別取的中點，連線直線；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓於和，並分別取的中點，連線直線，那麼直線和的交點即為橢圓中心。
20.解：（1）設， ，為的重心，，又為的外心且在軸上，，由得
（2）恰為的右焦點，設的斜率為，則，由，得.設
，則， ，
，把換成，得，
==，，，當且僅當時，取等號，又當不存在或者時，，綜上：，.
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