2013-2014學年高二上學期期末
數學試題(文a)
（考試時間：120分鐘滿分：150分）
一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分．
1．拋物線的焦點座標為（ ）
a.（0b.（，0） c.（0, 4d.（0, 2）
2．下列求導運算正確的是（ ）
a. b. c. d.
3．己知函式，其導數的圖象如圖所示，則函式的極大值是（ ）
ab. cd.
4．已知命題：：，則為（ ）
a. b. c. d.
5．命題「若，則是直角三角形」與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，
真命題的個數是（ ）
a． 0b ． 3c ． 2d． 1
6．設變數、滿足約束條件則目標函式的最小值是（ ）
a．－7b．－4c．1d．2
7．如果方程表示雙曲線，那麼實數的取值範圍是（ ）
ab. 或 c. d. 或
8．已知,則下列推證中正確的是（ ）
ab.cd.
9．設等比數列的公比為,前項和為,且.若,則的取值範圍是 （ ）
a． b． c．d．
10.已知兩燈塔a和b與海洋觀測站c的距離相等，燈塔a在觀察站c的北偏東400，燈塔b在觀察站c
的南偏東600，則燈塔a在燈塔b的（ ）
a. 北偏東100 b. 北偏西100 c. 南偏東100d. 南偏西100
11．已知不等式的解集為,則不等式的解集為
ab．cd．12．已知是奇函式，當時，，當時，的最小值為1，則的值等於（ ）
abcd．
二、填空題：共4小題，每小題4分，共16分．
13．已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則
14．設函式的導數為,且,則的值是
15．右圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2公尺，水面寬4公尺，水位下降1公尺後，水面寬公尺；
16．給出下列命題：
（1）導數是在處取得極值的既不充分也不必要條件；
（2）若等比數列的前項和，則必有；
（3）若的最小值為2；
（4）函式在上必定有最大值、最小值；
（5）平面內到定點的距離等於到定直線的距離的點的軌跡是拋物線.
其中正確命題的序號是
三、解答題：共6小題，共74分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本題滿分12分)命題：實數滿足，其中，命題：實數滿足
或，且是的必要不充分條件，求的取值範圍.
18. （本題滿分12分）在中，分別是角的對邊，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面積.
19．(本題滿分12分)已知數列的各項均為正數，為其前項和，對於任意的滿足關係式
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列的通項公式是，前項和為，
求證：對於任意的正數，總有.
20．（本題滿分12分）據市場分析,廣饒縣馳中集團某蔬菜加工點,當月產量在10噸至25噸時,月生產總成本（萬元）可以看成月產量（噸）的二次函式.當月產量為10噸時,月總成本為20萬元；當月產量為15噸時,月總成本最低為17.5萬元.
（1）寫出月總成本（萬元）關於月產量（噸）的函式關係；
（2）已知該產品銷售價為每噸1.6萬元,那麼月產量為多少時,可獲最大利潤；
（3）當月產量為多少噸時, 每噸平均成本最低,最低成本是多少萬元？
21.（本小題滿分12分）設函式，若函式在處與直線相切，
(1)求實數，的值；
(2)求函式上的最大值；
(3) 已知函式 （為實數），若對任意，，總有成立，求的取值範圍.
22．（本小題滿分14分）已知橢圓：的離心率為，右焦點為(，0)．
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若過原點作兩條互相垂直的射線，與橢圓交於，兩點，求證：點到直線的距離為定值；
(3) 在（2）的條件下，求面積的最大值．
2013-2014學年高二上學期期末
數學試題(文a)評分標準
一、選擇題：
dbbcc abcbb bd
二、填空題：
13. 2 141516. （1）（2）
解答題評分標準：
17．解：設a＝＝
＝∪＝∪＝為等比數列，且公比q＝34分
又當n＝1時，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n6分
(2)證明 ∵bn8分
∴tn＝b1＋b2＋…＋bn
10分＝1－<112分
20.解：（12分
將x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得
4分（2）設最大利潤為則
……6分
因為，所以月產量為23噸時，可獲最大利潤12.9萬元.…………8分
（3）……………………10分
當且僅當，即時上式「=」成立11分
故當月產量為20噸時，每噸平均成本最低，最低成本為1萬元. ……………12分
21. 解：（1）函式在處與直線相切
解得3分
(25分
當時，令得；令，得
上單調遞增，在（1，e）上單調遞減，……8分
（3）由知在上單調增9分
最小值為10分
命題等價於11分
即得12分
22. 解：（13分
（2） 設，，若k存在，則設直線ab：y＝kx＋m.
由，得5分
△ ＞06分
有oa⊥ob知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(k x1＋m) (k x2＋m)
1＋k2) x1x2＋k m(x1＋x2)＝08分
代入，得4 m2＝3 k2＋3原點到直線ab的距離d9分
當ab的斜率不存在時，,可得，依然成立．
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