2013屆高三理科數學綜合練習（一）
一、選擇題(每小題5分)
1、已知集合，，則（ ）
（abcd）
2、複數等於（ ）（a） b） c） d）
3、若函式與的定義域均為r，則（ ）
a．與均為偶函式 b．為偶函式，為奇函式
c．與均為奇函式 d．為奇函式．為偶函式
4、平面向量與的夾角為，則（ ）
（a） （b）2 （c）4 （d）12
5、給定空間中的直線及平面．條件「直線與平面內兩條相交直線都垂直」是「直線與平面垂直」的（ ）
a．充分非必要條件b．必要非充分條件
c．充要條件d．既非充分又非必要條件
6、若實數滿足則的最小值是（ ）
a．0 b．1 c． d．9
7、已知中，， 則（ ）
a. b. c. d.
8、某幾何體的三檢視如圖所示，則此幾何體中△pab的面積是( )
（ab）2cd）
9、若框圖所給的程式執行結果為，那麼判斷框中應填入的關於的條件是（ ）
ab． c． d．
10、設為等差數列的前項和，若，公差，，則 （ ）
（a）8b）7c）6d）5
11、若過點的直線與曲線有公共點，則直線的斜率的取值範圍為（ ）a． b． c． d．
12、已知在上是增函式，則實數的取值範圍是( )
a． b． c． d．
二、填空題
13、過雙曲線左焦點的直線交曲線的左支於兩點，為其右焦點，則的值為______．
14、將全體正整數排成乙個三角形數陣：
12 3
4 5 6
7 8 9 10
按照以上排列的規律，第n行（）從左向右的第3個數為
15、設是定義在上、以1為週期的函式，若在上的值域為，則在區間上的值域為
16、如圖，已知球的面上四點平面, ,則球的體積等於 。
三、解答題
17、（本小題滿分12分）
在中， （ⅰ）求的值。
（ⅱ）求的值。
18．（本小題滿分12分）
某農場計畫種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙．
（i）假設n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數目記為x，求x的分布列和數學期望；
（ii）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結束後得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產量（單位：kg/hm2）如下表：
分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為應該種植哪一品種？
19．（本小題滿分12分，（ⅰ）小問5分，（ⅱ）小問7分．）
如題（19）圖，在四面體中，平面平面，，，．
（ⅰ）若，，求四面體的體積；
（ⅱ）若二面角為，求異面直線與所成角的余弦值．
20、（本小題滿分12分）
橢圓的左、右焦點分別為，右頂點為為橢圓上任意一點．已知的最大值為3，最小值為2．
（１）求橢圓的方程；
（２）若直線與橢圓相交於兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過點．求證：直線過定點，並求出該定點的座標．
21、（本小題滿分12分）
已知函式
（ⅰ）當時，求函式的單調區間；
（ⅱ）是否存在實數，使恆成立，若存在，求出實數的取值範圍，若不存在，說明理由．
22、（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，ab是的直徑，弦bd、ca的延長線相交於點e，f為ba延長線上一點，且，求證：（ⅰ）；（ⅱ）．
23、（本小題滿分7分）選修4-4：座標系與引數方程
在直角座標系中，直線的方程為，曲線的引數方程為（為引數）
（i）已知在極座標（與直角座標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，點的極座標為，判斷點與直線的位置關係；
（ii）設點是曲線上的乙個動點，求它到直線的距離的最小值。
24、(本小題滿分l0分)選修4—5：不等式選講
已知函式．
（i）當時，求函式的定義域；
（ii）若關於的不等式的解集是，求的取值範圍．
2013理科數學綜合練習（一）答案
一、選擇題dcbbc bdabd cb
二、填空題13、8 14、 15、 16、
三、解答題17、解：（ⅰ）在△abc中，根據正弦定理， 於是
（ⅱ）在△abc中，根據餘弦定理，得
於是從而
所以18．（本題12分）
（i）解：如答（19）圖1，設f為ac的中點，由於ad=cd，所以df⊥ac.
故由平面abc⊥平面acd，知df⊥平面abc，即df是四面體abcd的面abc上的高，且df=adsin30°=1，af=adcos30°=.在rt△abc中，因ac=2af=，ab=2bc，
由勾股定理易知故四面體abcd的體積
（ii）解法一：如答（19）圖1，設g，h分別為邊cd，bd的中點，則fg//ad，gh//bc，從而∠fgh是異面直線ad與bc所成的角或其補角.
設e為邊ab的中點，則ef//bc，由ab⊥bc，知ef⊥ab.又由（i）有df⊥平面abc，
故由三垂線定理知de⊥ab.
所以∠def為二面角c—ab—d的平面角，由題設知∠def=60°設在
從而因rt△ade≌rt△bde，故bd=ad=a，從而，在rt△bdf中，，
又從而在△fgh中，因fg=fh，由餘弦定理得
因此，異面直線ad與bc所成角的余弦值為
19．解：
（i）x可能的取值為0，1，2，3，4，且
即x的分布列為
4分x的數學期望為
………………6分
（ii）品種甲的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為：
8分品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為：
10分由以上結果可以看出，品種乙的樣本平均數大於品種甲的樣本平均數，且兩品種的樣本方差差異不大，故應該選擇種植品種乙.
20、解析：（1）是橢圓上任一點,且，
……………………2分
當時，有最小值；當或時,有最大值．
， ， ．橢圓方程為……4分
（2） 設，，將代入橢圓方程得
．………6分
，，，為直徑的圓過點，，
或都滿足，……………………9分
若直線恆過定點不合題意捨去，
若直線：恆過定點。………………12分
21、解：（ⅰ）函式的定義域為，
(1)當時，由得，或，由得，
故函式的單調增區間為和,單調減區間為
(2) 當時, ,的單調增區間為┈┈┈┈┈5分
（ⅱ）恆成立可轉化為恆成立，
令，則只需在恆成立即可，
當時，在時，，在時，
的最小值為，由得，故當時恆成立，
當時，，在不能恆成立，
當時，時，，在時，，無最小值，故不存在實數使在恆成立，
綜上所述當時，使恆成立。┈┈┈┈┈12分
22、（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，ab是的直徑，弦bd、ca的延長線相交於點e，f為ba延長線上一點，且，求證：
（ⅰ）；（ⅱ）．
【解析】：（ⅰ）證明：連線，在中
2分 又4分
則5分(ⅱ)在中，
又四點共圓7分
9分 又是⊙的直徑，則，
10分23、
24、解：（i）由題設知
不等式的解集是以下三個不等式組解集的並集：
，或，或，
解得函式的定義域為
（ii）不等式即，
∵時，恒有，
不等式解集是， ∴，的取值範圍是．
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