【前言】顯著提公升平面幾何能力的唯一方法是多做題，本講座僅僅起到輔助、引導作用.建議在明年聯賽之前至少做100道平面幾何題.
【綱要】
一、知識補充
1.帕斯卡定理
2.笛沙格定理
3.密克定理
4.斯圖瓦爾特定理
5.布洛卡點
6. 二、專題突破
1.共點線（3題）
2.五心（5題）
3.圓（6題）
4.計算證明（6題）
【難度等級】
i級：第4題、第6題、第8題、第10題、第15題
ii級：第1題、第2題、第5題、第9題、第11題、第12題、16題、第18題、第19題
iii級：第3題、第7題、第13題、第14題、第17題、第20題
知識補充
1.帕斯卡定理：圓內接六邊形abcdef中，ae∩bf=m,ad∩cf=n,bd∩ce=p.則m、n、p三點共線.
2.笛沙格定理：△abc與△a1b1c1的對應頂點連線aa1、bb1、cc1共點o，則對應邊bc與b1c1、ac與a1c1、ab與a1b1的交點d、e、f共線.
3.密克定理：（1）△abc中，d、e、f分別在bc、ca、ab上，則△aef、△bdf、△cde的外接圓交於△def內一點o（密克點）.
（2）完全四邊形abcdef中，△acf、△bcd、△abe、△def的外接圓交於一點o（密克點）.
4.斯圖瓦爾特定理：△abc中d在bc上，bd=u，cd=v，則.
5.布洛卡點：△abc中有一點o，滿足∠oab=∠obc=∠oca=α，則稱o為△abc的布洛卡點，其基本性質為：cotα=cota+cotb+cotc.
6.：△abc中，r、r分別為內切圓、外接圓半徑，則.
專題突破
共點線分別為△abc三邊bc、ca、ab中點，m1、n1、p1在△abc的邊上，且mm1、nn1、pp1均平分△abc的周長.求證：mm1、nn1、pp1交於一點.
2.正方形pqrs內接於△abc，pq在bc上，其中心為a1.同樣地，定義兩個頂點分別在ac、ab上的內接正方形的中心為b1、c1.求證：aa1、bb1、cc1三線共點.
為△abc外接圓上兩點，p關於bc、ca、ab的對稱點分別為u、v、w.連線qu、qv、qw，分別交bc、ca、ab於d、e、f.求證：d、e、f三點共線.
五心為△abc的外心.經過o、b的圓交ab、bc於p、q.求證：△opq的垂心在直線ac上.
5. △abc中，b關於ac的對稱點為e，c關於ab的對稱點為f，cf∩be=為△abc的外心，j為△efh的外心.求證：ao=aj.
6. △abc中，ab=ac，o為△abc的外心，d為ab中點. e為△acd的重心.求證：oe⊥cd.
7. △abc中，∠a=30°.d、e在ac、ab上，be=bc=為△abc的外心、內心.求證：oi=de，oi⊥de.
8. △abc中,d在bc上，o、o1、o2分別為△abc、△abd、△acd在∠a內的旁心，且oe⊥bc於e.求證：eo1⊥eo2.
圓9. △abc的內切圓與ab、bc切於f、交內切圓於另一點h、k.求證：.
10.⊙o1與⊙o2交於c、d.過d的一條直線交⊙o1於a, 交⊙o2於在劣弧ad上，q在劣弧bd上，pd∩ac=m,qd∩bc=n.
o為△abc的外心.求證：od⊥mn的充要條件是p、q、m、n共圓.
11. △abc中，e、f為ab、ac中點，cm、bn為高，ef∩mn=為△abc的外心、垂心.求證：ap⊥oh.
12. ⊙o、⊙o1與⊙o2兩兩相切，直線m與⊙o、⊙o1相切，n與⊙o、⊙o2相切，m∥均為切點，ad∩bc=q.求證：q為△cde的外心.
13. ⊙o1與⊙o2外切於t，一直線切⊙o2於x，與⊙o1交於a、b.直線tx與⊙o1交於另一點s，c為不包含a的弧ts上一點，過c作cy切⊙o2於y，sc∩xy=i.
求證：i為△abc在∠a內的旁心.
14.⊙o與△abc的ab、bc相切，與△abc的外接圓內切於為△abc的內心.求證：∠ati=∠cti.
計算證明
15. △abc中，d、e、f為bc、ca、ab中點，h為△abc的垂心.乙個以h為圓心的圓與ef交於a1、a2，與df交於b1、b2與de交於c1、c2.
求證：aa1=bb1=cc1=aa2=bb2=cc2.
16.等腰△abc中ab=ac，p在bc的延長線上，x、y在直線ab、ac上，px∥ac，py∥ab，t為△abc外接圓上不含a的弧bc的中點.求證：pt⊥xy.
17. △abc中，三個內角的三等分線交成△def.求證：△def為正三角形.
為橢圓的左、右焦點.c、d在橢圓上，c在第二象限，d在第三象限，ad∩bc=e，ac∩bd=f，e在第二象限，f在第三象限.求證：△cde與△cdf等周長.
19. △abc中ab=ac，乙個圓與△abc的外接圓內切於d，與ab、ac相切於p、q.求證：pq中點m為△abc的內心.
為圓內接四邊形abcd的邊ab、cd的中點，m為ef中點.eq⊥ad於q，ep⊥bc於p.求證：mp=mq.
高中數學競賽專題講座競賽講座04平面幾何證明
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競賽講座 平面幾何證明
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競賽講座04平面幾何證明
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