全國各地數學競賽平面幾何題選（2002——2007）
一、 西部數學奧林匹克
1．設o為銳角△abc的外心，p為△aob內部的一點，p在△abc的三邊bc、ca、ab上的射影分別為d、e、f．求證：以fe、fd為鄰邊的平行四邊形位於△abc內．
2．在給定的梯形abcd中，ad∥bc，e是邊ab上的動點，o1、o2分別是△aed、△bec的外心．求證：o1 o2的長為一定值．
3．證明：若凸四邊形abcd內任意一點p到四邊ab、bc、cd、da的距離之和為定值，則四邊形abcd是平行四邊形．
4．凸四邊形abcd有內切圓，該內切圓切邊ab、bc、cd、da的切點分別為a1、b1、c1、d1，鏈結a1b1、b1c1、c1d1、d1 a1，點e、f、g、h分別為a1b1、b1c1、c1d1、d1 a1的中點．證明：四邊形efgh為矩形的充分必要條件是a、b、c、d四點共圓．
5．abcd為一凸四邊形，,分別為δabc, δdbc內心,過點,的直線分別交ab,dc於點e,f。分別延長ab,dc.他們相交於點p,且pe=pf。
證明：a,b,c,d四點共圓
6．已知銳角三角形abc的三邊長不全相等,周長為l,p是其內部一動點,點p在邊bc,ca,ab上的射影分別為d,e,f.求證:2(af+bd+ce)=l的充要條件是:
點p在三角形abc的內心與外心的連線上
7．如圖, 過圓外一點作圓的兩條切線，為切點， 再過點作圓的一條割線分別交圓於兩點，過切點作的平行線分別交直線於.
求證：.
證明: 連, 則.所以,.從而, 即1)
又, 所以, 從而
, 即--------(2)
另一方面, 因為, .
所以, .
而, 所以-------（3）
於是.故由（1）（2）（3）三式即知.
8．如圖，圓與圓交於兩點. 過點的直線交圓於且切圓於，切圓於，圓的弦與直線垂直. 過作垂直於，為垂足.
求證：平分線段.
證：設交於，交於，
連線，由對稱性知邊也是圓o的切線，為的中點.
，四點共圓，.又，
，，由得：，
四點共圓，，.
而為的中點，故為的中點.
9．如圖，在△pbc中，，過點p作△pbc的外接圓的切線，與cb的延長線交於點a. 點d和e分別**段pa和圓上，使得，pd＝pe. 連線be，與pc相交於點f.
已知af，bp，cd三線共點．
（1）求證：bf是的角平分線；（2）求的值．
解（1）當bf平分時，由於，所以，bd平分，於是
，所以，由ceva定理的逆定理知，af，bp，cd三線共點．
若還有乙個角滿足，且三線共點，不妨設**段pf內，則**段ad內，於是
， ，所以，
這與三線共點矛盾．
所以，bf是的內角平分線．
（2）不妨設圓o的半徑為1，，由（1）知，
，e是的中點．因為，，所以由pd＝pe知，，．
又，，所以，在直角三角形bde中，有，，
，，，所以
10．如圖，ab是圓o的直徑，c為ab延長線上的一點，過點c作圓o的割線，與圓o交於d，e兩點，of是△bod的外接圓o1的直徑，連線cf並延長交圓於點g．求證：o，a，e，g四點共圓．
證明連線ad，dg，ga，go，db，ea，eo．因為of是等腰△dob的外接圓的直徑，所以of平分，即．又，所以
又，所以，所以，g，a，c，d四點共圓．所以
而結合①，②，③得
因為b，d，e，a四點共圓，所以
又oa＝oe，所以
由④，⑤，⑥得，所以，o，a，e，g四點共圓．
11．如圖，⊙與⊙相交於點c，d，過點d的一條直線分別與⊙,⊙相交於點a，b，點p在⊙的弧ad上，pd與線段ac的延長線交於點m，點q在⊙的弧bd上，qd與線段bc的延長線交於點n．o是△abc的外心．求證：的充要條件為p，q，m，n四點共圓．
證設三角形abc的外接圓o的半徑為r，
從n到圓o的切線為nx，則
同理因為a，c，d，p四點共圓，所以
因為q，d，c，b四點共圓，所以
由①，②，③，④得
所以，p,q,m,n四點共圓.
12．設p是銳角三角形abc內一點，ap，bp，cp分別交邊bc，ca，ab於點d，e，f，已知△def∽△abc，求證：p是△abc的重心．
記 edc= , aef= , bfd= ,用 a, b, c分別表示△abc的三個內角的大小.則
afe = 2 b－（ dbe+ deb）= 2 b－ .
同理可證： bdf=2 c－ , ced=2 a－ .
現在設△def和△dec的外接圓半徑為r1和r2,則由正弦定理及 efd= c,可知2r1==2r2,故r1=r2.類似可得△def和△aef, △bdf的外接圓半徑相等.所以△def，△aef, △bdf和△dec這四個三角形的外接圓半徑都相同，記為r.
利用正弦定理得：
=2r. ①
再由ceva定理可知=1,結合上式得
1若 < b, 則 = edc< efa=2 b－ ,於是
=180 － efa－ efd=180 － efa－ c
<180 － edc－ c= ced=2 a－ .
類似可知 <2 c－ .
注意到，當0類似地，若 > b,可得②的左邊小於右邊，矛盾.所以， = b.同理 = c, = a.
因此，由①可知d,e,f分別為bc,ca,ab的中點.從而，p為△abc的重心.
二、 東南數學奧林匹克
13．設d是的邊bc上的一點，點p**段ad上，過點d作一直線分別與線段ab、pb交於點m、e，與線段ac、pc的延長線交於點f、n。如果de=df，
求證：dm=dn
證明：對和直線bep用梅涅勞斯定理得：，
對和直線ncp用梅涅勞斯定理得：，
對和直線bdc用梅涅勞斯定理得：
（1）（2）（3）式相乘得：，又de=df，
所以有，
所以dm=dn。
14．設點d為等腰的底邊bc上一點，f為過a、d、c三點的圓在內的弧上一點，過b、d、f三點的圓與邊ab交於點e。求證：
證明：設af的延長線交於k，，因此。於是要證（1），
只需證明：
又注意到。
我們有進一步有
因此要證（2），只需證明（3）
而（3）
事實上由知（4）成立，得證。
15．如圖，圓（圓心為）與直線相離，作，為垂足.設點是上任意一
點（不與點重合），過點作圓的兩條不同的切線和，和為切點，
與相交於點. 過點作，，和為垂足.
求證：直線平分線段.
16．如圖所示，在△abc中，是邊ca上的兩點，連線bd，bg . 過點a，g分別作bd的垂線，垂足分別為e，f，連線cf. 若be＝ef，求證：.
證：作的外接圓w，延長bd、ae分別交w於k、j.
連線bj、cj、kj、fj. 易知，故bj＝kc.
於是四邊形bjck是等腰梯形，又aj垂直平分bf，故bj＝fj，
故四邊形fjck是平行四邊形.
設ae與bg的交點為m，fc與jk的交點為n，則m、n分別是bg和fc的中點，
於是又 ，
於是∽，
所以.17．如圖，在中, ,的內切圓分別切邊於點,直線分別與直線相交於點, 證明：．
證法一：分別連線,
則四點共圓.
所以,從而,
又,所以.
又,得∽.所以
.又由,得∽,
所以, 從而.
同理，所以四點共圓，由此，
所以.證法二：因為，
又因為，
所以四點共圓，因此
.同理，所以四點共圓.
又，所以.
18．如圖，設是以為圓心、為直徑的半圓上的任意兩點，過點作的切線交直線交於，直線與直線分別交於點．
證明：．
證明：． （張鵬程供題）
證：如圖，作於，作∥，設
，連，則
，因此共圓；
又由共圓，得，所以∥，於是…，因為的中點，∥，則為的中點；故由得，．
另證：如圖，過作於，鏈結，因為，，所以四點共圓，於是
，，所以∽，，
從而∽，，
所以∥，，即．
19．如圖，直角三角形中，是斜邊的中點，，交於；的延長線交於．證明：．
證：如圖，延長交的外接圓於，延長交於，作，交於，交於，作於，則為的中點. 連，則共圓，故，於是共圓，所以，故．即為的中位線，是的中點．
則為的邊上的中線，又因
，故是的中點，即線段與
互相平分，所以，而
，即有．
20．在△abc中, , bd平分交ac於d，如圖，cp垂直bd，垂足為p，aq垂直bp，q為垂足. m是ac中點，e是bc中點. 若△pqm的外接圓o與ac的另乙個交點為h.
求證: o、h、e、m四點共圓.
證明：作aq延長線交bc於n，則q為an中點，又m為ac中點，所以qm//bc.
所以.同理，. 所以qm ＝ pm.
又因為共圓. 所以.
所以.所以p、h、b、c四點共圓..
故 .
結合，知為hp中垂線，易知，
所以o、h、e、m四點共圓.
21．如圖，的內切圓分別切於點，分別為邊的中點，是直線與的交點. 證明：三點共線．
證明：連線，則易知．
連線與ac交於點g．
因為，所以．
故，從而，
連線，則，
所以四點共圓．
從而，因此g與n重合，即三點共線．
三、 女子數學奧林匹克
22．圓o1和圓o2相交於b,c兩點，且bc是圓o1的直徑。過點c作圓o1的切線交圓o2於另一點a，鏈結ab, 交圓o1於另一點e，鏈結ce並延長，交圓o2於點f，設點h為線段af內的任一點，鏈結he並延長，交圓o1於點，鏈結bg並延長，與ac的延長線交於d點，求證：.
平面幾何證明
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04 平面幾何證明
平面幾何證明1 線段或角相等的證明 1 利用全等 或相似多邊形 2 利用等腰 3 利用平行四邊形 4 利用等量代換 5 利用平行線的性質或利用比例關係 6 利用圓中的等量關係等。2 線段或角的和差倍分的證明 1 轉化為相等問題。如要證明a b c，可以先作出線段p b c，再去證明a p，即所謂 截...