下面的平面幾何習題均是我兩年來收集的，屬競賽範圍。共分為五種型別，1，幾何計算；2，幾何證明；3，共點線與共線點；4，幾何不等式；5，經典幾何。
幾何計算-1
命題設點d是rt△abc斜邊ab上的一點，de⊥bc於點e，df⊥ac於點f。若af=15，be=10，則四邊形decf的面積是多少？
解：設df=ce=x,de=cf=y. ∵rt△bed∽rt△dfa, ∴be/de=df/af
<==> 10/y=x/15 <==> xy=150.
所以，矩形decf的面積150.
幾何證明-1
命題在圓內接四邊形abcd中，o為圓心，己知∠aob+∠cod=180.求證:由o向四邊形abcd所作的垂線段之和等於四邊形abcd的周長的一半。
證明(一) 連oa,ob,oc,od，過圓心o點分別作ab,bc,cd,da的垂線，垂足依次為p,q,r,s。
易證δapo≌δord，所以 dr=op,ap=or，
故 op+or=dr+ap=(cd+ab)/2。
同理可得:oq+os=(da+bc)/2。
因此有 op+oq+or+os=(ab+bc+cd+da)/2。
證明(二) 連oa,ob,oc,od，因為∠aob+∠cod=180°,oa=od，所以易證
rtδapo≌rtδord，故得 dr=op,ap=or，
即 op+or=dr+ap=(cd+ab)/2。
同理可得:oq+os=(da+bc)/2。
因此有 op+oq+or+os=(ab+bc+cd+da)/2。
幾何不等式-1
命題設p是正△abc內任意一點，△def是p點關於正△abc的內接三角形[ap,bp,cp延長分別交bc,ca,ab於d,e,f]，記面積為s1;△knm是p點關於正△abc的垂足三角形[過p點分別作bc,ca,ab垂線交於k,n,m]，記面積為s2。求證:s2≥s1 。
證明設p點關於正△abc的重心座標為p(x,y,z)，a為正△abc的邊長，則正△abc的面積為s=(a^2√3)/4。
由三角形重心座標定義易求得:
ad=za/(y+z),cd=ya/(y+z),ce=xa/(z+x),ae=za/(z+x),af=ya/(x+y),bf=xa/(x+y).
故得:△aef的面積 x=ae*af*sin60°/2=syz/(z+x)(x+y);
△bfd的面積 y=bf*bd*sin60°/2=szx/(x+y)(y+z);
△cde的面積 z=cd*ce*sin60°/2=sxy/(y+z)(z+x).
從而有 s1=s-x-y-z=2xyzs/(y+z)(z+x)(x+y)。
因為p點是△knm的費馬點，從而易求得:
pk=(xa√3)/[2(x+y+z)],
pn=(ya√3)/[2(x+y+z)],
pm=(za√3)/[2(x+y+z)].
故得：s2=(pn*pm+pm*pk+pk*pn)*sin120/2=3s(yz+zx+xy)/[4(x+y+z)^2]。
所以待證不等式s2≥s1等價於:
(3/4)*(yz+zx+xy)/(x+y+z)^2≥2xyz/(y+z)(z+x)(x+y);
<====> 3(y+z)(z+x)(x+y)(yz+zx+xy)≥8xyz(x+y+z)^2;
上式展開等價於
3x^3(y^2+z^2)+3y^3(z^2+x^2)+3z^3(x^2+y^2)-2xyz(x^2+y^2+z^2)-4xyz(yz+zx+xy)≥0;
上式化簡等價於
x^2(x+2y+2z)(y-z)^2+y^2(y+2z+2x)(z-x)^2+z^2(z+2x+2y)(x-y)^2≥0.
因為p點在正△abc內，故x>0,y>0,z>0，所以上式顯然成立。命題得證。
幾何不等式-2
命題設p是三角形abc內一點，直線ap，bp，cp與三邊的交點分別為d,e,f。則三角形def叫做點p的塞瓦三角形。試證點p的塞瓦三角形def的面積不超過三角形abc面積的四分之一。
證明設三角形abc的面積為s, 塞瓦三角形def的面積為s1, 三角形aef的面積為sa, 三角形bfd的面積為sb, 三角形cde的面積為sc。令bd=xbc,ce=yca,af=zab，則cd=(1-x)bc,ae=(1-y)ca,bf=(1-z)ab。那麼
sa=(ae*af*sina)/2=z*(1-y)*s，
sb=(bd*bf*sinb)/2=x*(1-z)*s，
sc=(cd*ce*sinc)/2=y*(1-x)*s。
所以有s1=s-sa-sb-sc=s*[1-z*(1-y)-x*(1-z)-y*(1-x)]
=s*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy] ，
據此命題[s≥4s1]轉化為證明
4*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy]≤1
根據塞瓦定理得:
xyz=(1-x)*(1-y)*(1-z)
上述恒等式展開等價於
1+yz+zx+xy=2xyz+x+y+z
將其代入得:8xyz≤1.
由算術--幾何平均不等式得:
2√[x(1-x)]≤1,
2√[y(1-y)]≤1,
2√[z(1-z)]≤1,
上述三式相乘得:
8√[xyz(1-x)*(1-y)*(1-z)]≤1 , <==> 8xyz≤1 .
幾何不等式-3
命題設p是三角形abc內一點，點p在三邊bc,ca,ab上的射影分別為d,e,f。則三角形def叫做點p的垂足三角形。試證點p的垂足三角形def的面積不超過三角形abc面積的四分之一。
證明設p點垂足δdef面積為f,δabc面積為δ，
令pd=r1,pe=r2,pc=r3,bc=a,ca=b,ab=c,r表示三角形abc的外接圓半徑。則有
f=[r2*r3*sina+r3*r1*sinb+r1*r2*sinc]/2
=[a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2]/(4r)。
故命題轉化為求證
a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2≤r1)
據恒等式:abc=4rδ，則上式為
a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2≤abc/4 (2)
設p點的δabc重心座標為p(x,y,z)，對(2)式作置換等價於
r^2*(x+y+z)^2≥yza^2+zxb^2+xyc^2 (3)
(3)展開化簡為
(r*x)^2+(r*y)^2+(r*z)^2+(2*r^2-a^2)*yz+(2*r^2-b^2)*zx+(2*r^2-c^2)*xy≥0
上式配方整理得:
[r*x+(2*r^2-c^2)*y/(2r)+(2*r^2-b^2)*z/(2r)]^2+[c*y*cosc-b*z*cosb]^2≥0，
顯然成立。易驗證當x:y:z=a*cosa:b*cosb:c*cosc，即外心時取等號。
幾何不等式-4
命題試比較給定一三角形的最大內接矩形的面積與最大內接正方形的面積大小。
證明設給定三角形abc的邊長分別為a,b,c，相對應的高線分別為ha,hb,hc，給定三角形abc的面積為s。不妨設a>b>c，則hab>c條件下，求出最大內接矩形與最大內接正方形的面積。
(1)對於給定三角形的最大內接矩形的面積可如下求:設矩形長為x[與bc邊重合]，寬為y，矩形的面積為s1。運用相似比可得:
(ha-y)/x=ha/a <==> x=a*(ha-y)/ha，所以
s1=y*a*(ha-y)/ha=-[1/(a*ha)]*[a^2*y^2-2*a*s*y]
=-[1/(2*s)]*(a*y-s)^2+s^/2≤s/2。
當y=s/a=ha/2，x=a/2時，s1的最大值為s/2。
所以給定三角形的最大內接矩形的面積為s/2，它共有三種形狀，即(長,寬)=(a/2,ha/2);(長,寬)=(b/2,hb/2);(長,寬)=(c/2,hc/2)。注意這裡長與寬相對而言。
(2)對於給定三角形的最大內接正方形的面積可如下求:設正方形邊長為x，正方形的面積為s2。運用相似比可得:
(ha-x)/x=ha/a <==> x=2*s/(a+ha)，
因為a>b>c，易證得:a+ha>b+hb>c+hc，
所以給定三角形的最大內接正方形的面積:
s2=[2*s/(c+hc)]^2。
(3)下面確定給定三角形abc的最大內接矩形的面積與最大內接正方形的面積大小。
[2*s/(c+hc)]^2≤s/2
<==> 8*s≤(c+hc)^2
因為c^2+(hc)^2≥2*c*hc=4*s，所以8*s≤(c+hc)^2顯然成立。
當c=hc時等號成立。
幾何不等式-5
命題在等腰直角三角形中，∠bac=90°，e，f在bc邊上[e點靠近b點，f點靠近c點]。求證：
(1) 如果∠eaf≤45°，則be^2+cf^2≥ef^2;
(2) 如果∠eaf≥45°，則be^2+cf^2≤ef^2.
證明設ae為y，af為z，ab=ac=a。
在△abe，△acf中[∠abe=45°，∠acf=45°]，根據餘弦定理得:
be^2=y^2-a^2+a*be*√2;y^2=a^2+be^2-a*be*√2;
z^2=a^2+cf^2-a*cf*√2; cf^2=z^2-a^2+a*cf*√2.
兩式相加得:
be^2+cf^2=y^2+z^2-2a^2+a√2(be+cf)=y^2+z^2-2a^2+a√2(a√2-ef)
=y^2+z^2-a√2ef。
注意到:△aef面積的兩種表示式
yzsin(∠eaf)/2=aef/(2√2) a√2ef=2yzsin∠eaf
所以有 be^2+cf^2=y^2+z^2-2yzsin∠eaf
而在△aef中，根據餘弦定理得:
ef^2=y^2+z^2-2yzcos∠eaf
對比上述兩式，當∠eaf=45°時，有be^2+cf^2=ef^2。
(1) 如果∠eaf≤45°，則tan∠eaf≤1，即be^2+cf^2≥ef^2;
(2) 如果∠eaf≥45°，則tan∠eaf≥1，即be^2+cf^2≤ef^2.
附證如圖,等腰直角三角形abc,e,f在bc上,不妨設f在e右側
將△afc旋轉90度到△adb
∠abc=∠acb=∠abd=45==>∠dbe=90 bd=cf
==>be^2+cf^2=be^2+bd^2=de^2
de^2=ad^2+ae^2-2ad*ae*cos∠dae
ef^2=af^2+ae^2-2af*ae*cos∠eaf
ad=af
de^2-ef^2=2af*ae(cos∠eaf-cos∠dae)
∠dae=∠dab+∠bae=∠caf+∠bae=90-∠eaf
(1)∠eaf≤45°,則90°＞∠dae≥∠eaf＞0°,
de^2-ef^2=2af*ae(cos∠eaf-cos∠dae)≥0
de^2≥ef^2
be^2+cf^2≥ef^2
(2)∠eaf≥45°,則0°＜∠dae≤∠eaf＜90°,
de^2-ef^2=2af*ae(cos∠eaf-cos∠dae)≤0
de^2≤ef^2
be^2+cf^2≤ef^2
幾何不等式-6
命題非鈍角三角形的三條中線組成的三角形，它的外接圓半徑大於原三角形外接圓半徑的5/6。
證明(1) 設非鈍角三角形abc的三邊長為a,b,c，相對應的中線分別為ma,mb,mc，r,s為非鈍角三角形abc的外接圓半徑和面積。而以三角形三中線組成的三角形的面積為3s/4。根據三角形恒等式:
abc=4r*s，故只需證明:
8*ma*mb*mc>5*a*b*c (1)
即 64*(ma*mb*mc)^2>25(a*b*c)^2 (2)
據三角形中線公式:
4*(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2，4*(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2，4*(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2，
因為三角形是非鈍角三角形，則b^2+c^2-a^2>=0，c^2+a^2-b^2>=0,a^2+b^2-c^2>=0，注意三式不可能同時取零，當直角三角形時，有一為零。設x,y,z為非負實數，
則令2x=b^2+c^2-a^2，2y=c^2+a^2-b^2,2z=a^2+b^2-c^2。則a^2=y+z,b^2=z+x,c^2=x+y。
對(2)式作置換等價於:
(4x+y+z)*(4y+z+x)*(4z+x+y)>25*(y+z)*(z+x)*(x+y)
x^3+y^3+z^3-x^2(y+z)-y^2*(z+x)-z^2*(x+y)+7*x*y*z>0 (3)
(3)式是全對稱的，不失一般性，設x=min(x,y,z)，(3)化簡整理等價於
x*(x-y)*(x-z)+(y+z-x)*(y-z)^2+4*x*y*z>0，顯然成立。
證明(2) 設rtδabc的三邊長為a,b,c，相對應的中線分別為ma,mb,mc，r,δ為rtδabc的外接圓半徑和面積。而以rtδabc三中線組成的δa'b'c'的外接圓半徑和面積分別為rm,δm。顯然δm=3δ/4。
命題轉化:
rm≥5r/6 (1)
根據三角形恒等式:abc=4r*δ，ma*mb*mc=4rm*δm。故只需證明:
8*ma*mb*mc≥5*a*b*c (2)
即 64*(ma*mb*mc)^2≥25(a*b*c)^2 (3)
不失一般性，設 a^2=b^2+c^2，據三角形中線公式:
4*(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2=b^2+c^2，4*(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2=4c^2+b^2，4*(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2=4b^2+c^2，
所以(3)式等價於:
(4c^2+b^2)*(4b^2+c^2)≥25*b^2*c^2 (4)
(4)<==> 4*(b^2-c^2)^2≥0。顯然成立，當三角形三角之比為:2:1:1時等號成立。
平面幾何證明
競賽專題講座04 競賽知識點撥 1 線段或角相等的證明 1 利用全等 或相似多邊形 2 利用等腰 3 利用平行四邊形 4 利用等量代換 5 利用平行線的性質或利用比例關係 6 利用圓中的等量關係等。2 線段或角的和差倍分的證明 1 轉化為相等問題。如要證明a b c，可以先作出線段p b c，再去證...
平面幾何證明
競賽專題講座04 競賽知識點撥 1 線段或角相等的證明 1 利用全等 或相似多邊形 2 利用等腰 3 利用平行四邊形 4 利用等量代換 5 利用平行線的性質或利用比例關係 6 利用圓中的等量關係等。2 線段或角的和差倍分的證明 1 轉化為相等問題。如要證明a b c，可以先作出線段p b c，再去證...
平面幾何 答案
全國各地數學競賽平面幾何題選 2002 2007 一 西部數學奧林匹克 1 設o為銳角 abc的外心，p為 aob內部的一點，p在 abc的三邊bc ca ab上的射影分別為d e f 求證 以fe fd為鄰邊的平行四邊形位於 abc內 2 在給定的梯形abcd中，ad bc，e是邊ab上的動點，o...