平面幾何(1)
江蘇省靖江高階中學朱佔奎
一常用定理及其變式
1（梅涅勞斯定理及其逆定理））設、、分別是的三邊、、或其延長線上的點，則等式成立的充要條件是、、三點共線。
2（賽瓦定理及其逆定理）設、、分別是的三邊bc、ca、ab或其延長線上的點，則等式成立的充要條件是、、三條直線共點或三條直線互相平行。
3（托勒密定理及其逆定理）在凸四邊形中則a、b、c、d四點共圓. 的充要條件是.
4（西姆松定理及其逆定理）
定理： 過三角形外接圓上異於三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足點共線；
逆定理：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。
二、基本結論及其應用
1．（張角定理）設a、c、b順次分別是平面內一點p所引三條射線pa、pc、pb上的點，線段ac、cb對於點p的張角分別為、，且，則a、c、b三點共線的充要條件是：
2．（尤拉定理）在中r為分別為外接圓和內切圓的半徑，o和i分別為其外心和內心，則。
3．（三角形的尤拉線）的重心g，垂心h和外心o共線，並且。
4．（三弦定理） p是外接圓上的一點，點p與點c在直線ab的異側，則.
例題 .①已知中，的乙個外角平分線交外接圓於e，過e作，垂足為f. 求證：.
②已知：如圖，折線abc是圓o的一條折弦，，點m是的中點，，垂足為h.,證明 ah=hb+bc
③已知銳角的的平分線交bc於l，交接圓於n，過l分別作，垂足分別是k、m. 求證：四邊形aknm的面積等於的面積.
5. （結論） p是內任意一點，ap、bp、cp交bc、ac、ab於d、e、f，求證：.
例題 ①p是內任一點，則.
②p是內任意一點，則、、中至少有乙個不大於2，且至少有乙個不小於2.
③p是內任一點，p到bc、ac、ab的距離是、、，設三邊上的高是、、，則.
④p是正內任意一點，則（其中是正三角形一邊上的高.）
⑤p是等腰三角形底邊bc上任一點，則.（其中是腰上的高）
⑥設p是外接圓的圓心，則.（其中r是外接圓半徑）.
⑦p是的內心，則（其中是內切圓半徑）
⑧p是的直角c的平分線與斜邊ab的交點，則（其中、是直角三角形兩直角邊長）
平面幾何(2)
江蘇省靖江高階中學朱佔奎
6. （結論）p是正外接圓上任一點，當p在bc上時，求證：時，求證：.
①.（其中是正的邊長）.
②設交bc於d點，求證：.
③設ap交bc於d，求證：.
④過p分別作bc、ac、ab垂線，垂足分別是h、e、f，求證：.
⑤（r為外接圓半徑）.
⑥求證h、e、f三點共線.
⑦設m、n、g分別是ab、bc、ac的中點，求證：
⑧ 已知是等三角形，p是外接圓bc上任一點，，求證是等邊三角形.
7 (結論) △abc的高ad，be相交於h，ad延長線交外接圓於點g，求證：d為hg的中點。
例題.①在△abc的外接圓中，過垂心h作三條弦、、。若，問六邊形的周長是多少？
②.給定△abc，試求一點，使它關於三角形三邊所在直線的對稱點都在三角形的外接圓上
三、常用方法舉例
1 如圖，已知分別在正方形的邊上，且. 過點作的垂線，垂足為.求證：∠apn=∠bnc.
2 是以為直徑的半圓上的一點（），在上，是上的一點，交於，且. 求證：.
3 已知中，、分別為邊、上的點，分別為的中點. 求證：三線共點.
4.如圖，在銳角中，以為直徑作圓與邊上的高及其延長線交於. 以為直徑作圓與邊上的高及其延長線交於. 求證：四點共圓.
5． 已知⊙和⊙相交於兩點，延長交⊙於，延長交⊙於. 試證：點是的內心.
6. 等腰三角形abc中，∠a=90°，d,e是bc上的點，且∠dae=45°，△abc的外接圓分別交ab,ac於p,q.求證：bp+cq=pq.
平面幾何證明
競賽專題講座04 競賽知識點撥 1 線段或角相等的證明 1 利用全等 或相似多邊形 2 利用等腰 3 利用平行四邊形 4 利用等量代換 5 利用平行線的性質或利用比例關係 6 利用圓中的等量關係等。2 線段或角的和差倍分的證明 1 轉化為相等問題。如要證明a b c，可以先作出線段p b c，再去證...
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平面幾何 答案
全國各地數學競賽平面幾何題選 2002 2007 一 西部數學奧林匹克 1 設o為銳角 abc的外心，p為 aob內部的一點，p在 abc的三邊bc ca ab上的射影分別為d e f 求證 以fe fd為鄰邊的平行四邊形位於 abc內 2 在給定的梯形abcd中，ad bc，e是邊ab上的動點，o...