競賽知識點撥】
1． 線段或角相等的證明
（1） 利用全等△或相似多邊形；
（2） 利用等腰△；
（3） 利用平行四邊形；
（4） 利用等量代換；
（5） 利用平行線的性質或利用比例關係
（6） 利用圓中的等量關係等。
2． 線段或角的和差倍分的證明
（1） 轉化為相等問題。如要證明a=b±c，可以先作出線段p=b±c，再去證明a=p，即所謂「截長補短」，角的問題仿此進行。
（2） 直接用已知的定理。例如：中位線定理，rt△斜邊上的中線等於斜邊的一半；△的外角等於不相鄰的內角之和；圓周角等於同弧所對圓心角的一半等等。
3． 兩線平行與垂直的證明
（1） 利用兩線平行與垂直的判定定理。
（2） 利用平行四邊形的性質可證明平行；利用等腰△的「三線合一」可證明垂直。
（3） 利用比例關係可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。
【競賽例題剖析】
【例1】從⊙o外一點p向圓引兩條切線pa、pb和割線pcd。從a點作弦ae平行於cd，鏈結be交cd於f。求證：be平分cd。
【分析1】構造兩個全等△。
鏈結ed、ac、af。
cf=df←△acf≌△edf←
←←∠pab=∠aeb=∠pfb
【分析2】利用圓中的等量關係。鏈結of、op、ob。
←∠pfb=∠pob←
←注：鏈結op、oa、of，證明a、o、f、p四點共圓亦可。
【例2】△abc內接於⊙o，p是弧 ab上的一點，過p作oa、ob的垂線，與ac、bc分別交於s、t，ab交於m、n。求證：pm=ms充要條件是pn=nt。
【分析】只需證， pm·pn=ms·nt。
（∠1=∠2，∠3=∠4）→△apm∽△pbn
→→pm·pn=am·bn
（∠bnt=∠ams，∠btn=∠mas）→△bnt∽△sma
→→ms·nt=am·bn
【例3】已知a為平面上兩半徑不等的圓o1和o2的乙個交點，兩外公切線p1p2、q1q2分別切兩圓於p1、p2、q1、q2，m1、m2分別為p1q1、p2q2的中點。求證：∠o1ao2=∠m1am2。
【分析】設b為兩圓的另一交點，鏈結並延長ba交p1p2於c，交o1o2於m，則c為p1p2的中點，且p1m1∥cm∥p2m2，故cm為m1m2的中垂線。
在o1m上擷取mo3=mo2，則∠m1ao3=∠m2ao2。
故只需證∠o1am1=∠o3am1，即證。
由△p1o1m1∽p2o2m2，m1o3=m2o2，o1p1=o1a，o2p2=o2a可得。
【例4】在△abc中，ab>ac，∠a的外角平分線交△abc的外接圓於d，de⊥ab於e，求證：ae=。
【分析】方法1、2ae=ab-ac
← 在be上擷取ef=ae，只需證bf=ac，鏈結dc、db、df，從而只需證△dbf≌△dca
← df=da，∠dbf=∠dca，∠dfb=∠dac
←∠dfa=∠daf=∠dag。
方法2、延長ca至g，使ag=ae，則只需證be=cg
← 鏈結dg、dc、db，則只需證△dbe≌△dcg
← de=dg，∠dbe=∠dcg，∠deb=∠dgc=rt∠。
【例5】∠abc的頂點b在⊙o外，ba、bc均與⊙o相交，過ba與圓的交點k引∠abc平分線的垂線，交⊙o於p，交bc於m。
求證：線段pm為圓心到∠abc平分線距離的2倍。
【分析】若角平分線過o，則p、m重合，pm=0，結論顯然成立。
若角平分線不過o，則延長do至d『，使od』=od，則只需證dd『=pm。鏈結d』p、dm，則只需證dmpd『為平行四邊形。
過o作m⊥pk，則dd』,kp，∴∠d『pk=∠dkp
bl平分∠abc，mk⊥bl→bl為mk的中垂線→∠dkb=∠dmk
∴∠d』pk=∠dmk，∴d『p∥dm。而d』 d∥pm，
∴dmpd『為平行四邊形。
【例6】在△abc中，ap為∠a的平分線，am為bc邊上的中線，過b作bh⊥ap於h，am的延長線交bh於q，求證：pq∥ab。
【分析】方法1、結合中線和角平分線的性質，考慮用比例證明平行。
倍長中線：延長am至m』，使am=ma『，鏈結ba』，如圖6-1。
pq∥ab←←←
←∠a『bq=180°-(∠hba+∠bah+∠cap)= 180°-90°-∠cap=90°-∠bap=∠abq
方法2、結合角平分線和bh⊥ah聯想對稱知識。
延長bh交ac的延長線於b』，如圖6-2。則h為bb『的中點，因為m為bc的中點，鏈結hm，則hm∥b/c。延長hm交ab於o，則o為ab的中點。
延長mo至m』，使om『=om，鏈結m』a、m『b，則am』bm是平行四邊形，
∴mp∥am『，qm∥bm』。於是，，所以pq∥ab。
【例7】菱形abcd的內切圓o與各邊分別切於e、f、g、h，在ef與gh上分別作⊙o的切線交ab於m，交bc於n，交cd於p，交da於q。
求證：mq∥np。（95年全國聯賽二試3）
【分析】由ab∥cd知：要證mq∥np，只需證∠amq=∠cpn，
結合∠a=∠c知，只需證△amq∽△cpn←，am·cn=aq·cp。
鏈結ac、bd，其交點為內切圓心o。設mn與⊙o切於k，鏈結oe、om、ok、on、of。記∠abo=φ，∠mok=α，∠kon=β，則
∠eom=α，∠fon=β，∠eof=2α+2β=180°-2φ。
∴∠bon=90°-∠nof-∠cof=90°-β-φ=α
∴∠cno=∠nbo+∠nob=φ+α=∠aoe+∠moe=∠aom
又∠ocn=∠mao，∴△ocn∽△mao，於是，
∴am·cn=ao·co
同理，aq·cp=ao·co。
【例8】abcd是圓內接四邊形，其對角線交於p，m、n分別是ad、bc的中點，過m、n分別作bd、ac的垂線交於k。求證：kp⊥ab。
【分析】延長kp交ab於l，則只需證∠pal+∠apl=90°，
即只需證∠pdc+∠kpc=90°，只需證∠pdc=∠pkf，
因為p、f、k、e四點共圓，故只需證∠pdc=∠pef，即ef∥dc。
←←←△dme∽△cnf
【例9】以△abc的邊bc為直徑作半圓，與ab、ac分別交於點d、e。過d、e作bc的垂線，垂足分別是f、g，線段dg、ef交於點m。求證：am⊥bc。
【分析】鏈結be、cd交於h，則h為垂心，故ah⊥bc。（同一法）
設ah⊥bc於o，dg、ah交於m1，ef、ah交於m2。下面證m1、m2重合。
om1∥df→→om1=。
om2∥eg→→om2=。
只需證og·df=eg·of，即←rt△oeg∽rt△odf←∠dof=∠dhb=∠ehc=∠eog。
競賽講座04平面幾何證明
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