1．二項式定理
⑴二項式定理
這個公式表示的定理叫做二項式定理．
⑵二項式係數、二項式的通項
叫做的二項展開式，其中的係數叫做二項式係數，式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：．
⑶二項式展開式的各項冪指數
二項式的展開式項數為項，各項的冪指數狀況是
①各項的次數都等於二項式的冪指數．
②字母的按降冪排列，從第一項開始，次數由逐項減1直到零，字母按公升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到．
⑷幾點注意
①通項是的展開式的第項，這裡．
②二項式的項和的展開式的第項是有區別的，應用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換的．
③注意二項式係數（）與展開式中對應項的係數不一定相等，二項式係數一定為正，而項的係數有時可為負．
④通項公式是這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項公式是（只須把看成代入二項式定理）這與是不同的，在這裡對應項的二項式係數是相等的都是，但項的係數乙個是，乙個是，可看出，二項式係數與項的係數是不同的概念．
⑤設，則得公式：．
⑥通項是中含有五個元素，
只要知道其中四個即可求第五個元素．
⑦當不是很大，比較小時可以用展開式的前幾項求的近似值．
2．二項式係數的性質
⑴楊輝三角形：
對於是較小的正整數時，可以直接寫出各項係數而不去套用二項式定理，二項式係數也可以直接用楊輝三角計算．
楊輝三角有如下規律：「左、右兩邊斜行各數都是1．其餘各數都等於它肩上兩個數字的和．」
⑵二項式係數的性質：
展開式的二項式係數是：，從函式的角度看可以看成是為自變數的函式，其定義域是：．
當時，的圖象為下圖：
這樣我們利用「楊輝三角」和時的圖象的直觀來幫助我們研究二項式係數的性質．
①對稱性：與首末兩端「等距離」的兩個二項式係數相等．
事實上，這一性質可直接由公式得到．
②增減性與最大值
如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式係數最大；
如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式係數相等並且最大．
由於展開式各項的二項式係數順次是
，，．．．，
，，．．．，
．其中，後乙個二項式係數的分子是前乙個二項式係數的分子乘以逐次減小1的數（如），分母是乘以逐次增大的數（如1，2，3，…）．因為，乙個自然數乘以乙個大於1的數則變大，而乘以乙個小於1的數則變小，從而當依次取1，2，3，…等值時，的值轉化為不遞增而遞減了．又因為與首末兩端「等距離」的兩項的式係數相等，所以二項式係數增大到某一項時就逐漸減小，且二項式係數最大的項必在中間．
當是偶數時，是奇數，展開式共有項，所以展開式有中間一項，並且這一項的二項式係數最大，最大為．
當是奇數時，是偶數，展開式共有項，所以有中間兩項．
這兩項的二項式係數相等並且最大，最大為．
③二項式係數的和為，即．
④奇數項的二項式係數的和等於偶數項的二項式係數的和，即
．常見題型有：
求展開式的某些特定項、項數、係數，二項式定理的逆用，賦值用，簡單的組合數式問題．
二項式定理的應用2證明不等式
【例1】 已知：，求證：，
【例2】 ，求證：
【例3】 且，求證：
【例4】 求證：
【例5】 求證：
【例6】 ，求證：．
【例7】 求證：
【例8】 對於，．
【例9】 求證：
【例10】 已知是正整數，且，⑴證明；⑵證明．
【例11】 已知函式滿足（），，並且使成立的實數有且只有乙個．
⑴求的解析式；
⑵若數列的前項和為，滿足，當時，，
求數列的通項公式．
⑶在⑵的條件下，令（），
求證：當時，有．
二項式定理
1.3.1 二項式定理導學案 學習目標 1 能用計數原理證明二項式定理 2 掌握二項式定理及二項式展開式的通項公式 學習重點 掌握二項式定理及二項式展開式的通項公式 學習難點 二項式定理及通項公式的掌握及運用 一 複習引入 猜想 二 講解新課 一 二項式定理 的展開式的各項都是次式，即展開式應有下面...
二項式定理
1.3.1 二項式定理 學習目標 1掌握二項式定理和二項式係數的性質。2.能靈活運用展開式 通項公式 二項式係數的性質解題 學習重點 如何靈活運用展開式 通項公式 二項式係數的性質解題 學習難點 如何靈活運用展開式 通項公式 二項式係數的性質解題 授課型別 新授課 課時安排 1課時 教具 多 實物投...
二項式定理
一選擇題 1 設 3x x 展開式的各項係數之和為t，其二項式係數之和為h，若t h 272，則展開式的x項的係數是 a b 1c 2d 3 2 設 2x 3 4 則a0 a1 a2 a3的值為 a.1b.16c.15d.15 3 展開式中的中間兩項為 a.b.c.d.4 已知，的展開式按a的降冪排...