1.3.1 二項式定理
學習目標：
1掌握二項式定理和二項式係數的性質。
2.能靈活運用展開式、通項公式、二項式係數的性質解題
學習重點：如何靈活運用展開式、通項公式、二項式係數的性質解題
學習難點：如何靈活運用展開式、通項公式、二項式係數的性質解題
授課型別：新授課
課時安排：1課時
教具：多**、實物投影儀
教學過程：
一、複習引入：
1．二項式定理及其特例：
（1），
（2）.
2．二項展開式的通項公式：
3．求常數項、有理項和係數最大的項時，要根據通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數及項數的整數性
4_二項式係數表（楊輝三角）
展開式的二項式係數，當依次取…時，二項式係數表，表中每行兩端都是，除以外的每乙個數都等於它肩上兩個數的和
5．二項式係數的性質：
展開式的二項式係數是，，，…，．可以看成以為自變數的函式，定義域是，例當時，其圖象是個孤立的點（如圖）
（1）對稱性．與首末兩端「等距離」的兩個二項式係數相等（∵）．
直線是圖象的對稱軸．
（2）增減性與最大值：當是偶數時，中間一項取得最大值；當是奇數時，中間兩項，取得最大值．
（3）各二項式係數和：
∵，令，則
二、講解範例：
例1． 設，
當時，求的值
解：令得：，∴，
點評：對於，令即可得各項係數的和的值；令即，可得奇數項係數和與偶數項和的關係
例2．求證：．
證（法一）倒序相加：設 ①
又∵ ②
∵，∴，
由①+②得：，
∴，即．
（法二）：左邊各組合數的通項為
，∴ ．
例3．已知：的展開式中，各項係數和比它的二項式係數和大．
（1）求展開式中二項式係數最大的項；（2）求展開式中係數最大的項
解：令，則展開式中各項係數和為，
又展開式中二項式係數和為，
∴，．（1）∵，展開式共項，二項式係數最大的項為第
三、四兩項，
∴，，（2）設展開式中第項係數最大，則，
∴，∴，
即展開式中第項係數最大，．
例4．已知，
求證：當為偶數時，能被整除
分析：由二項式定理的逆用化簡，再把變形，化為含有因數的多項式
∵，∴，∵為偶數，∴設（），
∴當=時，顯然能被整除，
當時，（）式能被整除，
所以，當為偶數時，能被整除
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三、課堂練習：
1．展開式中的係數為 ，各項係數之和為 ．
2．多項式（）的展開式中，的係數為
3．若二項式（）的展開式中含有常數項，則的最小值為（ ）
a.4b.5c.6d.8
4．某企業欲實現在今後10年內年產值翻一番的目標，那麼該企業年產值的年平均增長率最低應 （ ）
a.低於5b.在5％～6％之間
c.在6％～8％之間 d.在8％以上
5．在的展開式中，奇數項之和為，偶數項之和為，則等於（ ）
a.0 bc. d.
6．求和：．
7．求證：當且時，．
8．求的展開式中係數最大的項
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：
3. b 4. c 5. d 6.
7. (略) 8.
四、小結 ：二項式定理體現了二項式的正整數冪的展開式的指數、項數、二項式係數等方面的內在聯絡，涉及到二項展開式中的項和係數的綜合問題，只需運用通項公式和二項式係數的性質對條件進行逐個節破，對於與組合數有關的和的問題，賦值法是常用且重要的方法，同時注意二項式定理的逆用
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五、課後作業：
1．已知展開式中的各項係數的和等於的展開式的常數項，而展開式的係數的最大的項等於，求的值
答案：2．設
求：① ②．
答案：①； ②
3．求值：．
答案：4．設，試求的展開式中：
（1）所有項的係數和；
（2）所有偶次項的係數和及所有奇次項的係數和
答案：（1）；
（2）所有偶次項的係數和為；
所有奇次項的係數和為
六、板書設計（略）
七、課後記：
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二項式定理
1.3.1 二項式定理導學案 學習目標 1 能用計數原理證明二項式定理 2 掌握二項式定理及二項式展開式的通項公式 學習重點 掌握二項式定理及二項式展開式的通項公式 學習難點 二項式定理及通項公式的掌握及運用 一 複習引入 猜想 二 講解新課 一 二項式定理 的展開式的各項都是次式，即展開式應有下面...
二項式定理
一選擇題 1 設 3x x 展開式的各項係數之和為t，其二項式係數之和為h，若t h 272，則展開式的x項的係數是 a b 1c 2d 3 2 設 2x 3 4 則a0 a1 a2 a3的值為 a.1b.16c.15d.15 3 展開式中的中間兩項為 a.b.c.d.4 已知，的展開式按a的降冪排...
二項式定理
1 求的展開式 2 求的展開式 3 計算 4.計算 5.計算 6.若，則的值為 a.一定為奇數 b.與n的奇偶性相反c.一定為偶數 d.與n的奇偶性相同7 已知的展開式中的係數為，常數的值為 8 展開式中的常數項是 9 求的展開式中有理項共有項 10 展開式中的係數是 11.試判斷在的展開式中有無常...