一、選擇題
1． (4x－2－x)6(x∈r)展開式中的常數項是( )
a．－20b．－15
c．15d．20
解析tr＋1＝c (4x)6－r(－2－x)r
＝c·22x(6－r)·(－1)r·－xr＝c·(－1)r·212x－3xr
令12x－3xr＝0，則r＝4，所以t5＝c＝15，故選c.
答案c2．設n的展開式的各項係數之和為m，二項式係數之和為n，若m－n＝240，則展開式中x的係數為
a．－150b．150 c．300d．－300
解析由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4，
tr＋1＝c (5x)4－rr＝(－1)r54－rcx4－，
令4－＝1，得r＝2，t3＝150x.
答案 b
3．已知8展開式中常數項為1 120，其中實數a是常數，則展開式中各項係數的和是
a．28b．38 c．1或38 d．1或28
解析由題意知c·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展開式各項係數和為(1－a)8＝1或38.
答案 c
4．在5的二項展開式中，x的係數為
a．10b．－10c．40d．－40
解析因為tr＋1＝c (2x2)5－rr＝c25－r·(－1)rx10－3r，所以10－3r＝1，所以r＝3，所以x的係數為c25－3(－1)3＝－40.
答案 d
5．已知0a．－10b．9c．11d．－12
解析作出y＝a|x|(a>0)與y＝|logax|的大致圖象如圖所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋c＝－2＋11＝9.
答案 b
6．(1＋ax＋by)n展開式中不含x的項的係數絕對值的和為243，不含y的項的係數絕對值的和為32，則a，b，n的值可能為( )
a．a＝2，b＝－1，n＝5 b．a＝－2，b＝－1，n＝6
c．a＝－1，b＝2，n＝6 d．a＝1，b＝2，n＝5
解析不含x的項的係數的絕對值為(1＋|b|)n＝243＝35，不含y的項的係數的絕對值為(1＋|a|)n＝32＝25，
∴n＝5，再驗證選項知應選d.
答案d二、填空題
7． 18的展開式中含x15的項的係數為________(結果用數值表示)．
解析 tr＋1＝cx18－rr＝(－1)rcrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求係數為(－1)2·c2＝17.
答案 17
8．若將函式f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數，則a3
解析 f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通項為tr＋1＝c (1＋x)5－r·(－1)r，t3＝c (1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.
答案 10
9．若n的展開式中各項係數之和為64，則展開式的常數項為________．
解析n的展開式各項係數之和為64，令x＝1，得2n＝64，故n＝6，
則tr＋1＝c·36－r·x·(－1)r·x－
＝(－1)rc·36－r·x3－r，
令3－r＝0得r＝3.
故常數項為(－1)3c·33＝－540.
答案－540
10．設二項式6(a＞0)的展開式中x3的係數為a，常數項為b.若b＝4a，則a的值是________．
解析由tr＋1＝cx6－rr＝c (－a)rx6－r，
得b＝c (－a)4，a＝c (－a)2，∵b＝4a，a＞0，∴a＝2.
答案 2
三、解答題
11．已知二項式n的展開式中各項的係數和為256.
(1)求n；(2)求展開式中的常數項．
解 (1)由題意，得c＋c＋c＋…＋c＝256，即2n＝256，解得n＝8.
(2)該二項展開式中的第r＋1項為tr＋1＝c ()8－r·r＝c·x，令＝0，得r＝2，此時，常數項為t3＝c＝28.
12．設n的展開式的各項係數之和為m，二項式係數之和為n，m－n＝992.
(1)判斷該展開式中有無x2項？若有，求出它的係數；若沒有，說明理由；
(2)求此展開式中有理項的項數．
解令x＝1得m＝4n，而n＝2n，由m－n＝992，
得4n－2n＝992.即(2n－32)·(2n＋31)＝0，
故2n＝32，n＝5.
(1)tk＋1＝c·5－kk＝(－1)kc·55－k·x·x＝(－1)k·c·55－k·x
由題意，令＝2，解得k＝3，故含x2項存在．
它的係數為(－1)3·c·55－3＝－250.
(2)展開式中的有理項應滿足，故k只能取3，即展開式中只有一項有理項．
13．已知(a2＋1)n展開式中的各項係數之和等於5的展開式的常數項，而(a2＋1)n的展開式的係數最大的項等於54，求a的值．
解 5的展開式的通項為tr＋1＝c5－r·r＝5－rcx，令20－5r＝0，得r＝4，故常數項t5＝c×＝16.又(a2＋1)n展開式的各項係數之和等於2n，由題意知2n＝16，得n＝4.由二項式係數的性質知，(a2＋1)n展開式中係數最大的項是中間項t3，故有ca4＝54，解得a＝±.
14．已知n，
(1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式係數成等差數列，求展開式中二項式係數最大項的係數；
(2)若展開式前三項的二項式係數和等於79，求展開式中係數最大的項．
解 (1)∵c＋c＝2c，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
當n＝7時，展開式中二項式係數最大的項是t4和t5.
∴t4的係數為c423＝，
t5的係數為c324＝70，
當n＝14時，展開式中二項式係數最大的項是t8.
∴t8的係數為c727＝3 432.
(2)∵c＋c＋c＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(捨去)．設tk＋1項的係數最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
∴ ∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.
∴展開式中係數最大的項為t11，
t11＝c·2·210·x10＝16 896x10.
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