二項式定理教學設計

詳細教案

1．3．1二項式定理

學校：織金二中組別：數學組姓名：田茂松

一、教學目標：

1．知識技能：

（1）理解二項式定理是代數乘法公式的推廣

（2）理解並掌握二項式定理，能利用計數原理證明二項式定理

2．過程與方法

通過學生參與和**二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式

3．情感、態度、價值觀

培養學生自主**意識，合作精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，體會數學語言的簡捷和嚴謹

二、教學重點、難點

重點：用計數原理分析的展開式得到二項式定理。

難點：用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式展開成單項式之和時各項係數的規律。

三、教學過程

創設問題情境：

今天是星期三，15天後星期幾，30天後星期幾，天後星期幾呢？

前面幾個問題全班所有學生都大聲地回答出來了，最後乙個問題大家都很迷惑，有些學生試圖用計算器算，還是覺得很複雜，學習完這節課我們就知道答案了，並且我們不用查日曆就能知道未來任何一天是星期幾

新課講解：

問題1 的展開式有多少項？有無同類項可以合併？

由於這一節是在學生學習了兩個計數原理和排列組合知識之後學習的，所以學生能夠快速的說出答案。

問題2 的原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構成的？有規律嗎？

學生根據乘法展開式也很快得出結論

問題3 的原始展開式有多少項？經合併後又只能有幾項？是哪幾項？

學生仍然根據乘法公式算出了答案

問題4 的的原始展開式有多少項？

問題5 你能準確快速地寫出的原始展開式的16項嗎？經合併後，又只能有哪幾項？

此時，學生能說出其中的一兩項，並不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——藉此「憤悱」之境，有效的實現思維的烘熱）

啟發模擬：4個袋中有紅球，白球各乙個，每次從4個袋子中各取乙個球，有什麼樣的取法？各種取法有多少種？

在4個括號（袋子）中

（1）若每個括號都不取，只有一種取法得到，即種

（2）若只有乙個括號取，共有種取法得到

（3）若只有兩個括號取，共有種取法得到

（4）若只有三個括號取，共有種取法得到

（5）若每個括號都取，共有種取法得到

引導學生發現：原始展開式中確有同類項存在，且確實可省去「合併」

因此問題6 其個數，為何恰好應為該項的係數？

問題7 在合併後的展開式中，的係數應該是多少？有理由嗎？

問題8 那麼，該如何將輕鬆、清晰地展開？請同學們歸納猜想

學生們快速地說出

我們數學講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那麼我們怎麼來證明呢？

思路：證明中主要運用了計數原理！

1 展開式中為什麼會有那幾種型別的項？

是個相乘，展開式中的每一項都是從這個中各任取乙個字母相乘得到的，每一項都是次的。故每一項都是的形式，

2 展開式中各項的係數是怎麼來的？

是從個中取個，和餘下個相乘得到的，有種情況可以得到，因此，該項的係數為

定義：一般地，對於任意正整數，上面的關係式也成立，即有

注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做的二項展開式（2）定理中的僅僅是一種符號，它可以是任意的數或式子什麼的，只要是兩項相加的次冪，就能用二項式定理展開

例：把換成，則

練習：令，則

問題9 二項式定理展開式中項數、指數、係數特點是什麼？哪一項最有代表性

公式特徵：

（1）項數：共有項

（2）指數規律：

1 各項的次數都等於二項式的係數（關於與的齊次多項式）

2 字母按降冪排列，次數由遞減到0；字母按公升冪排列，次數由0遞增到

（3）二項式展開式的通項：，

（4）二項式係數：依次為。這裡（）稱為二項式係數

現在同學們能告訴老師天後星期幾嗎？

思考了一會兒，馬上有同學大聲喊：把8寫成7+1，再進行展開，餘數是多少，就是星期幾

老師故意問：為什麼要寫成7+1，這時，所有學生都明白了，因為乙個星期7天，所以

展開式中除了最後一項外，其餘的項都是7的倍數，因此餘數為，故應為星期四。

例1 求的展開式

方法一：直接展開

技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成

方法二：先合併化簡，再展開

建議用第二種方法簡單些。

變式一：展開式中的常數項是多少？

變式二：展開式中的第3項是多少？

變式三：展開式中的第3項的係數是多少？

變式四：展開式中的第3項二項式係數是多少？

注意：二項式係數和係數是兩個不同的概念，二項式係數就是乙個組合數，與無關；係數與有關。

例2 （1）求的展開式的第4項的係數和第4項的二項式係數

（2）的展開式中的係數和中間項

例3 求的展開式中的倒數第4項

小結：（1）注意二項式定理中二項展開式的特徵

（2）區別二項式係數、項的係數

（3）掌握用通項公式求二項式係數、項的係數及項。

板書設計

二項式定理

例題練習

注意：1作業

2總結作業：p37 4，5

教學反思：

本節課先用今天星期幾的問題創設問題情境，一下子把全班學生的學習積極性都調動起來了，當大家不知道老師葫蘆裡賣的什麼藥時，老師由淺入深的提問，最後問到天後星期幾，從而引出今天的課題：二項式定理。給大家設定這個懸念後，緊接著又進行一系列的問題教學，讓學生自己去**去回答，最後學生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。

二項式定理教學設計

二項式定理

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