第五講恒等式的證明
代數式的恒等變形是初中代數的重要內容，它涉及的基礎知識較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運算法則，因式分解的知識與技能技巧等等，因此代數式的恒等變形是學好初中代數必備的基本功之一．本講主要介紹恒等式的證明．首先複習一下基本知識，然後進行例題分析．
兩個代數式，如果對於字母在允許範圍內的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個代數式恒等．
把乙個代數式變換成另乙個與它恒等的代數式叫作代數式的恒等變形．恒等式的證明，就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數式相等．
證明恒等式，沒有統一的方法，需要根據具體問題，採用不同的變形技巧，使證明過程盡量簡捷．一般可以把恒等式的證明分為兩類：一類是無附加條件的恒等式證明；另一類是有附加條件的恒等式的證明．對於後者，同學們要善於利用附加條件，使證明簡化．下面結合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧．
1．由繁到簡和相向趨進
恒等式證明最基本的思路是「由繁到簡」(即由等式較繁的一邊向另一邊推導)和「相向趨進」(即將等式兩邊同時轉化為同一形式)．
例1 已知x+y+z=xyz，證明：x(1－y2)(1－z2)+y(1－x2)(1－z2)+z(1－x2)(1－y2)=4xyz．
分析將左邊展開，利用條件x+y+z=xyz，將等式左邊化簡成右邊．
證因為x+y+z=xyz，所以
左邊=x(1－z2－y2－y2z2)+y(1－z2－x2+x2z2)+(1－y2－x2+x2y2)
=(x+y+z)－xz2－xy2+xy2z2－yz2+yx2+yx2z2－zy2－zx2+zx2y2
=xyz－xy(y+x)－xz(x+z)－yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)
=xyz－xy(xyz－z)－xz(xyz－y)－yz(xyz－x)+xyz(xy+yz+zx)
=xyz+xyz+xyz+xyz
=4xyz=右邊．
說明本例的證明思路就是「由繁到簡」．
例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且
證令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，則
又因為所以所以說明本例的證明思路是「相向趨進」，在證明方法上，通過設引數k，使左右兩邊同時變形為同一形式，從而使等式成立．
2．比較法
a=b(比商法)．這也是證明恒等式的重要思路之一．
例3 求證：
分析用比差法證明左－右=0．本例中，
這個式子具有如下特徵：如果取出它的第一項，把其中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項；若對第二項的字母實行上述輪換，則可得出第三項；對第三項的字母實行上述輪換，可得出第一項．具有這種特性的式子叫作輪換式．利用這種特性，可使輪換式的運算簡化．
證因為所以所以說明本例若採用通分化簡的方法將很繁．像這種把乙個分式分解成幾個部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧．
全不為零．證明：
(1+p)(1+q)(1+r)=(1－p)(1－q)(1－r)．
同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1－p)(1－q)(1－r)．
說明本例採用的是比商法．
3．分析法與綜合法
根據推理過程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法．分析法是從要求證的結論出發，尋求在什麼情況下結論是正確的，這樣一步一步逆向推導，尋求結論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結論正確，即所謂「執果索因」．而綜合法正好相反，它是「由因導果」，即從已知條件出發順向推理，得到所求結論．
證要證 a2+b2+c2=(a+b－c)2，只要證
a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab－2ac－2bc，
只要證 ab=ac+bc，
只要證 c(a+b)=ab，
只要證這最後的等式正好是題設，而以上推理每一步都可逆，故所求證的等式成立．
說明本題採用的方法是典型的分析法．
例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正數，求證：a=b=c=d．
證由已知可得
a4+b4+c4+d4－4abcd=0，
(a2－b2)2+(c2－d2)2+2a2b2+2c2d2－4abcd=0，
所以(a2－b2)2+(c2－d2)2+2(ab－cd)2=0．
因為(a2－b2)2≥0，(c2－d2)2≥0，(ab－cd)2≥0，所以
a2－b2=c2－d2=ab－cd=0，
所以 (a+b)(a－b)=(c+d)(c－d)＝0．
又因為a，b，c，d都為正數，所以a+b≠0，c+d≠0，所以
a＝b，c=d．
所以ab－cd=a2－c2=(a+c)(a－c)=0，
所以a＝c．故a=b＝c=d成立．
說明本題採用的方法是綜合法．
4．其他證明方法與技巧
求證：8a+9b+5c=0．
a+b=k(a－b)，b+c=2k(b－c)，
(c+a)=3k(c－a)．
所以6(a+b)=6k(a－b)，
3(b+c)=6k(b－c)，
2(c+a)=6k(c－a)．以上三式相加，得
6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)
=6k(a－b+b－c+c－a)，
即 8a+9b+5c=0．
說明本題證明中用到了「遇連比設為k」的設引數法，前面的例2用的也是類似方法．這種設引數法也是恒等式證明中的常用技巧．
例8 已知a+b+c=0，求證
2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．
分析與證明用比差法，注意利用a+b+c=0的條件．
左－右=2(a4+b4+c4)－(a2+b2+c2)2
=a4+b4+c4－2a2b2－2b2c2－2c2a2
=(a2－b2－c2)2－4b2c2
=(a2－b2－c2+2bc)(a2－b2－c2－2bc)
=[a2－(b－c)2][a2－(b+c)2]
=(a－b+c)(a+b－c)(a－b－c)(a+b+c)=0．所以等式成立．
說明本題證明過程中主要是進行因式分解．
分析本題的兩個已知條件中，包含字母a，x，y和z，而在求證的結論中，卻只包含a，x和z，因此可以從消去y著手，得到如下證法．
證由已知
說明本題利用的是「消元」法，它是證明條件等式的常用方法．
例10 證明：
(y+z－2x)3+(z+x－2y)3+(x+y－2z)3
=3(y+z－2x)(z+x－2y)(x+y－2z)．
分析與證明此題看起來很複雜，但仔細觀察，可以使用換元法．令
y+z－2x=a，①
z+x－2y=b，②
x+y－2z=c，③
則要證的等式變為
a3+b3+c3=3abc．
聯想到乘法公式：
a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)，所以將①，②，③相加有
a+b+c=y+z－2x+z+x－2y+x+y－2z=0，
所以 a3+b3+c3－3abc=0，
所以(y+z－2x)3+(z+x－2y)3+(x+y－2z)3
=3(y+z－2x)(z+x－2y)(x+y－2z)．
說明由本例可以看出，換元法也可以在恒等式證明中發揮效力．
例11 設x，y，z為互不相等的非零實數，且
求證：x2y2z2=1．
分析本題x，y，z具有輪換對稱的特點，我們不妨先看二元的
所以x2y2=1．三元與二元的結構類似．
證由已知有
①×②×③得x2y2z2=1．
說明這種欲進先退的解題策略經常用於探索解決問題的思路中．
總之，從上面的例題中可以看出，恒等式證明的關鍵是代數式的變形技能．同學們要在明確變形目的的基礎上，深刻體會例題中的常用變形技能與方法，這對以後的數學學習非常重要．
練習五1．已知(c－a)2－4(a－b)(b－c)=0，求證：2b=a+c．
2．證明：
(x+y+z)3xyz－(yz+zx+xy)3
=xyz(x3+y3+z3)－(y3z3+z3x3+x3y3)．
3．求證：
5．證明：
6．已知x2－yz=y2－xz=z2－xy，求證：
x=y=z或x+y+z=0．
7．已知an－bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求證：
(cm－ap)2=(bp－cn)(an－bm)．
八年級數學經典講解第05講恒等式的證明
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八年級數學競賽試題 八
一 選擇題 1 桌面上擺著一些相同的小正方體木塊，從正南方向看如圖a，從正西方向看如圖b，那麼桌面上至少有這樣的小正方體木塊 a.20塊 b.16塊c.10塊d.6塊 2 如果,那麼的值等於 a 1 b 2 c 3 d 4 3 設 x 表示最接近x的整數 x n 0.5，n為整數 則的值為 a 51...
八年級數學競賽方案
鐵王中學2012 2013學年度第二學期 一 指導思想 為了激勵 七 八年級學生學習數學的積極性，培養學生合理的思維方法和健全的數學思想方法，強化學生的運算能力 分析問題和解決問題的能力，培養創新型人才，根據教務處 年級組的工作安排，特舉辦本次競賽。二 組織領導 組長 王克敏 副組長 韓磊 成員 李...