1.給學生分宿舍，每間住4人，剩19人無宿舍住；每間住6人，有一間宿舍住不滿。（1）如果有x間宿舍，那麼可以列出關於x的不等式組為：
（2）可能有多少間宿舍？多少名學生？你得到了幾個解？它們都符合題意嗎？
解：1、 由題意可得學生人數是4x+19人，每間住6人時，沒住滿的房間中的人數是4x+19-6(x-1)人，由題意可得0<4x+19-6(x-1)<6
2、把0<4x+19-6(x-1)<6化簡得， 0<25-2x<6, 解得9.5因為x是整數，所以x=10，或11，或12。
當x=10時，4x+19=59人
當x=11時，4x+19=63人
當x=12時，4x+19=67人
答：有10間宿舍，59名學生或有11間宿舍，63名學生或有12間宿舍，67名學生。都符合題意。
2.如圖，已知d、e在bc上，ab=ac，ad=ae， 求證：bd=ce.
（本題來自《幾何》第2冊69頁例3） 思路與解法一：從△abc和△ade是等腰三角形這一角度出發，利用"等腰三角形底邊上的三線合一"這一重要性質，便得三種證法，即過點a作底邊上的高，或底邊上的中線或頂角的平分線。其通法是"等腰三角形底邊上的三線合一"，證得bh=ch.
思路與解法二：從證線段相等常用三角形全等這一角度出發，本題可設法證△abd≌△ace或證△abe≌△acd，於是又得兩種證法，而證這兩對三角形全等又都可用aas、asa、sas進行證明，所以實際是六種證法。其通性是"全等三角形對應邊相等"。
思路與解法三：從等腰三角形的軸對稱性這一角度出發，於是用疊合法可證
3. 如果乙個三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形．
已知：如圖1，在△abc中，ad=bd=cd．
求證：△abc是直角三角形．
證法1 如圖1，利用兩銳角互餘．
∵ad=cd，cd=bd，
∴∠1=∠a，∠2=∠b。
在△abc中，∵∠a+∠b+∠acb=180°，
∴∠a+∠b+∠1+∠2=180°，
∴2（∠a+∠b）=180°，
∴∠a+∠b=90°，
∴∠acb=90°，∴△abc是直角三角形。
證法2 如圖2，利用等腰三角形的三線合一．
延長ac到e使ce=ac，連線be．
∵ad=bd，
∴cd是△abe的中位線．
∴。∵，
∴ab=be．
∴bc⊥ac，∴△abc是直角三角形．
證法3 如圖3，利用此三角形與某個直角三角形相似（或全等）．
過點d作de⊥bc交bc於點e．
∴cd=bd，
∴，∴，
∵∠b是公共角，
∴△bde∽△bac。
∴∠acb=∠deb=90°，∴△abc是直角三角形。
證法4 如圖4，利用如果一條直線垂直於兩平行線中的一條，則也垂直於另一條．
取bc中點e，連線de．
∵ad=bd，∴de是△abc的中位線．
∴de∥ac．
∵cd=bd，ce=be，
∴de⊥bc．
∴ac⊥bc，∴△abc是直角三角形．
4.如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，bc=ab+cd，e是ad 中點。求證：∠bec=90°．
變換1：如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，bc=ab+cd，e是ad中點。求證：ce⊥be．
變換2：如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，ce⊥be．, e是ad中點．求證： bc=ab+cd．
變換3：如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，bc=ab+cd, ce⊥be．判斷e是ad中點嗎？為什麼？
變換4：如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，bc=ab+cd，ce⊥be．求證：ae=ed．
5. 如圖，已知△ade中，∠dae=120°，b、c分別是de上兩點，且△abc是等邊三角形，求證：bc2 = bd·ce。
分析：本題為證明題，具有探索性，可引導學生從結論出發找到需證明△abd∽△eca，從而使問題變得容易解決。
變換一：改為填空題，如圖，已知△ade中，
∠dae=120°，b、c分別是de上兩點，且△abc是等邊三角形， 則線段bc、bd、ce滿足的數量關係是
本題表面上雖是對原題的簡單形式變換，但實質上有**的思想，即需要將bc分別代換為ab、ac，從而歸結為找△abd與△eca的關係問題。
變換二：改為選擇題，如圖，已知△ade中，∠dae=120°，b、c分別是de上兩點,且△abc是等邊三角形，則下列關係式錯誤的是（ ）
a．∠adb= ∠eac b．ad2 = de·bd
c．bc2 = bd·ced．ae2 = de·bd
本題名為選擇題，實為要**得出圖中共有三對相似三角形，從而得知a、b、c選項均正確，選d。
變換三：改為計算題, 如圖，已知△ade中，∠dae=120°，b、c分別是de上兩點，且△abc是邊長為4的等邊三角形，且bd=2，求ce的長。
仍然要**出線段bc、bd、ce滿足的數量關係，從而轉化為知二求一的問題。
變換四：改為開放題，如圖，已知△ade中,∠dae=120°，b、c分別是de上兩點,且△abc是等邊三角形, 則圖中有哪些線段是另外兩條線段的比例中項？
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