1 行列式的證明
行列式的證明方法很多，從中選出最簡單，最適宜的解決辦法，很容易就能證得。下面這道例題，我們可以用五種方法解題，著重講一下矩陣與行列式的關係用於解決行列式的證明問題。
例：證明=
高等代數中典型證明題的一題多解問題
1 行列式的證明
行列式的證明方法很多，從中選出最簡單，最適宜的解決辦法，很容易就能證得。下面這道例題，我們可以用五種方法解題，著重講一下矩陣與行列式的關係用於解決行列式的證明問題。
例：證明=
分析1：由行列式的特點可以看出，只要把行列式第一行展開即可。
分析2：若將第i行乘以加到第1行，即可將第1行的前n個元素變為0，再按第一行展開即得要證結論。
分析3：用數學歸納法證明。
分析4：因為行列式的前n列中每列只有兩個元素不為0，所以也可將行列式按某一列展開來證。
分析5：這個行列式的特點是去掉它的第1行和第列後，剩下的元素構成乙個n階單位矩陣，它的構造當然最簡單，這點啟發我們利用分塊矩陣來求證。下面我們寫一下第五種分析方法的證明
證法5：令，=，表示n階單位矩陣。則原行列式為，因為
兩邊取行列式，得
這道題前四種方法都是無可置疑的。第五種方法另闢途徑，頗具新意。它利用分塊矩陣，利用了單位矩陣的運算性質及矩陣乘積與行列式之間的關係，雖然不易想到，但一旦掌握便很容易得到結果。
2 矩陣的證明
矩陣這部分內容知識點多，解題方法也多。我們僅通過一道例題**矩陣可逆的證法。
例：設a，b為n階矩陣。證明：若可逆，則也可逆，其中i為單位矩陣。
分析1：要證可逆，只要證存在乙個n階矩陣q，使。今已知可逆，所以存在c，使由此即可找到q。
證法1：因可逆，故存在n階矩陣c使得
。於是利用這個結果就可證明是可逆的，它的逆矩陣就是：
只要在展開式中將代替和就行了。
分析2：由可逆，要證也可逆，只要能證明就行了。這只要作出適當的矩陣，對它們施行適當的初等變換，然後取行列式即可。
證法2：作矩陣
因為所以兩邊取行列式，得。因此，若可逆，
則，從而，也可逆。
分析3：用反證法。若不可逆，則以為係數矩陣的齊次線性方程組有非零解。可推出以為係數矩陣的齊次線性方程組也有非零解。得出也不可逆的矛盾。
證法3：若可逆，假設不可逆，則=0
以為係數矩陣作齊次線性方程組⑴
則方程組⑴有非零解。 易知，
於是可見，方程組有非零解。 從而=0，
這與可逆相矛盾。所以可逆。
分析4：要證可逆，即證，這只要證明1不是的特徵根。
證法4：因可逆，故，可見1不是的特徵根。另一方面，因為有相同的非零特徵根。因此，1也不是的特徵根。即從而可逆。
這道題我們用4種證法證明矩陣可逆。證法1是根據矩陣可逆的定義來證的。其餘三種證法都是根據矩陣可逆的充要條件，從不同的途徑證明的。
1 行列式的證明
行列式的證明方法很多，從中選出最簡單，最適宜的解決辦法，很容易就能證得。下面這道例題，我們可以用五種方法解題，著重講一下矩陣與行列式的關係用於解決行列式的證明問題。
例：證明=
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