初中數學證明題輔助線典型做法訓練一

八年級數學訓練題

補形法的應用

一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析**，有時顯得十分繁難，若通過適當的「補形」來進行，即添置適當的輔助線，將原圖形填補成乙個完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，使原問題順利獲解。這種方法，我們稱之為補形法，它能培養思維能力和解題技巧。我們學過的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為「補形」的物件。

現就常見的添補的圖形舉例如下，以供參考。

一、補成三角形

1.補成三角形

例1.如圖1，已知e為梯形abcd的腰cd的中點；

證明：△abe的面積等於梯形abcd面積的一半。

分析：過一頂點和一腰中點作直線，交底的延長線於一點，構造等面積的三角形。這也是梯形中常用的輔助線添法之一。

略證：2.補成等腰三角形

例2 如圖2.已知∠a＝90°，ab＝ac，∠1＝∠2，ce⊥bd，求證：bd＝2ce

分析：因為角是軸對稱圖形，角平分線是對稱軸，故根據對稱性作出輔助線，不難發現cf＝2ce，再證bd＝cf即可。

略證：3.補成直角三角形

例3.如圖3，在梯形abcd中，ad∥bc，∠b＋∠c＝90°，f、g分別是ad、bc的中點，若bc＝18，ad＝8，求fg的長。

分析：從∠b、∠c互餘，考慮將它們變為直角三角形的角，故延長ba、cd，要求fg，需求pf、pg。

略解：4.補成等邊三角形

例4.圖4，△abc是等邊三角形，延長bc至d，延長ba至e，使ae＝bd，鏈結ce、ed。

證明：ec＝ed

分析：要證明ec＝ed，通常要證∠ecd＝∠edc，但難以實現。這樣可採用補形法即延長bd到f，使bf＝be，鏈結ef。

略證：二、補成特殊的四邊形

1.補成平行四邊形

例5.如圖5，四邊形abcd中，e、f、g、h分別是ab、cd、ac、bd的中點，並且e、f、g、h不在同一條直線上，求證：ef和gh互相平分。

分析：因為平行四邊形的對角線互相平分，故要證結論，需考慮四邊形gehf是平行四邊形。

略證：2.補成矩形

例6.如圖6，四邊形abcd中，∠a＝60°，∠b＝∠d＝90°，ab＝200m，cd＝100m，求ad、bc的長。

分析：矩形具有許多特殊的性質，巧妙地構造矩形，可使問題轉化為解直角三角形，於是一些四邊形中較難的計算題不難獲解。

略解：3.補成菱形

例7.如圖7，凸五邊形abcde中，∠a=∠b＝120°，ea＝ab＝bc＝2，cd＝de＝4，求其面積

分析：延長ea、cb交於p，根據題意易證四邊形pcde為菱形。

略解：4.補成正方形

例8.如圖8，在△abc中，ad⊥bc於d，∠bac＝45°，bd＝3，dc＝2。求△abc的面積。

分析：本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實有些困難，如果從題設∠bac＝45°，ad⊥bc出發，可以捕捉到利用軸對稱性質構造乙個正方形的資訊，那麼問題立即可以獲解。

略解：5.補成梯形

例9．如圖9，已知： g是△abc中bc邊上的中線的中點，l是△abc外的一條直線，自a、b、c、g向l作垂線，垂足分別為a1、b1、c1、g1。求證：

gg1＝(2aa1＋bb1＋cc1)。

分析：本題從已知條件可知，中點多、垂線多特點，聯想到構造直角梯形來加以解決比較恰當，故過d作dd1⊥l於d1，則dd1既是梯形bb1c1c的中位線，又是梯形dd1a1a的一條底邊，因而，可想到運用梯形中位線定理突破，使要證的結論明顯地顯示出來，從而使問題快速獲證。

2、如圖，已知：在△abc內，∠bac=60°，∠acb=40°，p、q分別在bc、ca上，並且ap、bq分別是∠bac、∠abc的角平分線，求證：bq+aq=ab+bp

3、已知：∠bac=90°，ab=ac，ad=dc，ae⊥bd，求證：∠adb=∠cde

4、設正三角形abc的邊長為2，m是ab邊上的中點，p是bc邊上的任意一點，pa+pm的最大值和最小值分別記為s和，求：s－t的值。

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初中數學證明題輔助線典型做法訓練一補形題

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