中點，由此可以聯想到三角形中與邊中點有密
切聯絡的中位線，所以，可有如下2種輔助線作法：
（1）過d點作dn∥ca，交bf於n，可得n為bf中點，由中位線定理得dn=，再證△aef≌△den，則有af=dn，進而有af=
（2）過d點作dm∥bf，交ac於m，可得fm=cm，fm=af，則有af=
方法二：分析結論，作出輔助線
例2：如圖，ad是△abc的高，ae是△abc的外接圓直徑，
求證：ab·ac=ae·ad
分析：要證ab·ac=ae·ad，需證
（或），需證△abe∽△adc（或△abd∽△aec），
這就需要鏈結be（或ce），形成所需要的三角形，同時得
∠abe=∠adc=900(或∠adb=∠ace=900)又∠e=∠c（或∠b=∠e）
因而得證。
方法三：「兩頭湊」（即同時分析已知和結論）作出輔助線
例3：過△abc的頂點c任作一直線，與邊ab及中線ad分別交於點f和e；
求證：ae∶ed=2af∶fb
分析：已知d是bc中點，那麼在
三角形中可過中點作平行線得中位線；
若要出現結論中的ae∶ed，則應有一條與ef平行的直線。所以，過d點作dm∥ef交ab於m，可得，再證bf=2fm即可。
方法四：找出輔助線的一般規律，將對證題時能準確地作出所需輔助線有很大幫助。
例如：在「圓」部分就有許多規律性輔助線：
（1）有弦，作「垂直於弦的直徑」
例4：已知，如圖，在以o為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦ab交小圓於c、d兩點，求證：ac=bd
分析：過o點作oe⊥ab於e，則
ae=be，ce=de，即可證得ac=bd
（2）有直徑，構成直徑上的圓周角（直角）
例5：已知：如圖，以△abc的ac邊為直徑，
作⊙o交bc、ba於d、e兩點，且，
求證：∠b=∠c
分析：鏈結ad，由於ac為直徑，則有ad⊥bc，又，有∠1=∠2，由內角和定理得∠b=∠c
（3）見切線，連半徑，證垂直
例6：如圖，ab為⊙o的直徑，c為⊙o上一點，ad和過c點的切線互相垂直，垂足為d，求證：ac平分∠dab
分析：鏈結oc，由於cd為切線，可知
oc⊥cd，易證：∠1=∠2，又因為∠2=∠3，
所以∠1=∠3，則可得ac平分∠dab
（4）證切線時，「連半徑，證垂直」或「作垂直，證半徑」
例7：已知，直線ab經過⊙o上的一點，並且oa=ob，ca=cb；
求證：直線ab是⊙o的切線
分析：鏈結oc，要證ab是⊙o的切線，
需證oc⊥ab，由已知可證△oac≌△obc，
可得∠oca=∠ocb=900，結論得證。
例8：已知，梯形abcd中，ab∥cd，∠a=900，bc是⊙o的直徑，bc=cd+ab，
求證：ad是⊙o的切線
分析：過o點作oe⊥ad，垂足為e，
要證ad是⊙o的切線，只要證oe是⊙o的半徑即可，
也就是說需要證oe=，由於∠a=900，ab∥cd，可得ab∥cd∥oe，再由平行線等分線段定理得de=ea，進而由梯形中位線定理得oe=，所以e點在⊙o上，ad是⊙o的切線。
（二）練習
1、已知： 如圖，在△abc中，ad＝db，ae＝ec．
求證： de∥bc，de＝bc．
2、已知： 如圖27.3.12所示，在梯形abcd中，
ad∥bc，ae＝be，df＝cf．
求證： ef∥bc，ef＝（ad＋bc）．
3、已知：如圖27.3.13所示,在△abc中.ad=db,be=ec,af=fc.
求證：ae、df互相平分。
4、如圖：已知：ab為⊙o的直徑，弦cd⊥ab，m為上一點，am的延長線交dc的延長線於f，
求證：∠amd=∠fmc
與圓有關的輔助線常規作法解析
與圓有關的幾何問題，幾乎涵蓋了初中幾何的各種基本圖形與基本性質，題型的複雜程度可想而知。為此，常常需要新增適當的輔助線將複雜的圖形轉化為基本圖形，從而方便求解。為幫助大家正確理解並掌握圓中有關計算或證明題的一般解法，現就圓中輔助線的常規作法分類總結如下，供同學們學習時參考——
一、圓中有弦，常作弦心距（或者作垂直於弦的半徑或直徑，有時還要鏈結過弦端點的半徑）
例1.如圖，以rt△abc的直角頂點a為圓心，直角邊ab為半徑的⊙a分別交bc、ac於點d、e, 若bd=10cm，dc=6cm，求⊙a的半徑。
解：過a作ah⊥bd於h，則。
∵ba⊥ac，∴∠cab=∠ahb=90°。又∵∠abh=∠cba，∴△abh∽△cba，∴，∴，∴。
例2.如圖，ab是⊙o的直徑,po⊥ab交⊙o於點p，弦pn與ab相交於點m，求證：。
證明：過o作oc⊥np於點c，則。
∵oc⊥np，po⊥ab，∴∠pom=∠pco=90°。又∵∠opm=∠cpo，∴△opm∽△cpo，∴，∴，即。
評析：求解圓中與弦有關的問題，常需作弦心距（即垂直於弦的直徑或半徑），其目的是構造以半徑、弦心距、弦為邊的直角三角形，並利用垂徑定理來溝通弦、弧、弦心距之間的聯絡。
二、圓中有直徑，常作直徑所對的圓周角（在半圓中，同樣可作直徑所對的圓周角）
例3.如圖，ab為半圓的直徑，oh⊥ac於h，bh與oc交於e，若bh=12，求be的長。
解：鏈結bc。
∵ ab為直徑，∴ ac⊥bc。又∵oh⊥ac，ao=bo，∴ ohbc，∴ ∠ohe=∠cbe，∠hoe=∠bce，∴△ohe∽△cbe，∴，∴。
例4.如圖,ab是半圓的直徑, c為圓上的一點, cd⊥ab於d, 求證:。
證明：鏈結ac、bc。
∵ ab為直徑，∴ ∠acb=90°，∴∠1+∠2=90°。又∵cd⊥ab，∴∠adc=∠cdb=90°，∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，∴△bcd∽△cad，∴，即。
評析：由於直徑所對的圓周角為直角，所以在有關圓的證明或計算問題中，利用該性質極易構造出直角三角形，從而可以很方便地將問題轉化到直角三角形中進行解決。
三、圓中有切線，常作過切點的半徑（若無切點，則過圓心作切線的垂線）
例5.如圖，已知mn為⊙o的直徑，ap是⊙o的切線，p為切點，點a在mn的延長線上，若 pa=pm，求∠a的度數。
解：鏈結op，設∠a的度數為x。
∵pa=pm，∴∠m=∠a，同理可得∠opm=∠m，∴∠poa=∠opm+∠m=2∠m=2∠a=2x。又∵ap切⊙o於點p，∴ap⊥op，∴∠a+∠poa=90°，即x+2x=90°，解之得x=30°，∴∠a=30°。
例6.如圖,ab為⊙o的直徑,c為⊙o上的一點,ad和過c點的切線垂直,垂足為d，求證∠1=∠2。
證明：鏈結oc。
∵dc切⊙o於點c，∴oc⊥dc。又∵ad⊥dc，∴oc∥ad，∴∠1=∠3。∵oa=oc,∴∠2=∠3，∴∠1=∠2。
評析：當欲求解的問題中含有圓的切線時，常常需要作出過切點的半徑，利用該半徑與切線的垂直關係來溝通題設與結論之間的聯絡。
四、圓中有特殊角，常作直徑構造直角三角形（若題中有三角函式但無直角三角形，則也需作直徑構造直角三角形）
例7.如圖, 點a、b、c在⊙o上（ac不過o點），若∠acb=60°,ab=6，求⊙o半徑的長。
解：作直徑ad，鏈結bd。
∵∠acb與∠d都是所對的圓周角，∴∠d=∠acb=60°。又∵ad是直徑，∴∠abd=90°，∴，∴。
例8.如圖，在銳角△abc中，若bc=a，ca=b，ab=c，△abc的外接圓半徑為r，求證：。
證明：作直徑cd，鏈結bd。
∵cd為直徑，∴∠cbd=90°，∴。又∵∠a=∠d，∴，即，同理可得，，∴。
評析：當題設中未告訴有直角三角形但卻含有30°、45°、60°、90°等特殊角或某個角的三角函式值時，通常需要作直徑構造直角三角形來幫助求解。
五、兩圓相切，常作公切線（或者作兩圓的連心線）
例9.如圖，⊙o1和⊙o2外切於點a，bc是⊙o1和⊙o2外公切線，b、c為切點，求證：ab⊥ac。
證明：過點a作⊙o1與⊙o2的公切線am交bc於點m。
∵ma和mb分別切⊙o1於點a、b，∴ma=mb，同理可得ma=mc，∴ma=mb=mc，即點a、b、c同在以m為圓心，bc為直徑的圓周上，∴ab⊥ac。
例10.如圖，⊙a和⊙b外切於點p，cd為⊙a、⊙b的外公切線，c、d為切點，若⊙a與⊙b的半徑分別為r和3r,求：⑴cd的長；⑵∠b的度數。
解：鏈結ab，鏈結ac、bd，過點a作ae⊥bd於e。
⑴、∵cd是⊙a和⊙b的外公切線，c、d為切點，∴ac⊥cd，bd⊥cd。又∵ae⊥bd，∴四邊形acde為矩形，∴cd=ae，de=ac=r，∴be=bd-de=3r-r=2r。∵ab=r+3r=4r，∴。
⑵、在rt△aeb中，∵，∴∠b=60°。
評析：在解決有關兩圓相切的問題時，常常需作出兩圓的公切線或連心線，利用公切線垂直於經過切點的半徑、切線長相等、連心線長等於兩圓半徑之和（或差）等性質來溝通兩圓間的聯絡。
六、兩圓相交，常作公共弦（或者作兩圓的連心線）
例11.如圖，⊙o1和⊙o2相交於a、b兩點，ad是⊙o1的直徑，且圓心o1在⊙o2上，鏈結db並延長交⊙o2於點c，求證：co1⊥ad。
證明：鏈結ab。
∵ ad為⊙o1的直徑，∴∠abd=90°，∴∠d+∠bad=90°。又∵∠c和∠bao1都是⊙o2中所對的圓周角，∴∠c=∠bao1，即∠c=∠bad，∴∠d+∠c=90°，∴co1⊥ad。
例12.如圖，⊙o1和⊙o2相交於a、b兩點，兩圓半徑分別為和，公共弦ab的長為12，求∠o1ao2的度數。
解：鏈結ab、o1o2，使之交於h點。
∵ab為⊙o1與⊙o2的公共弦，∴連心線o1o2垂直平分ab，∴，∴，，∴∠o1ah=45°，∠o2ah=30°，∴∠o1ao2=∠o1ah+∠o2ah=75°。
評析：在解決有關兩圓相交的問題時，最常見的輔助線是兩圓的公共弦或連心線，公共弦可以聯通兩圓中的弦、角關係，而連心線則垂直平分公共弦。
全等三角形作輔助線的常用方法
一、 在利用三角形三邊關係證明線段不等關係時，如直接證不出來，可連線兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在乙個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關係證明，如：
例1、 已知如圖1-1：d、e為△abc內兩點,
求證:ab+ac>bd+de+ce.
證明：（法一）
將de兩邊延長分別交ab、ac
數學輔助線做法技巧
1 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以後關係現。2 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。3 線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。4 三角形中兩中點，連線則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。5 平行四邊形出現，對稱中心...
常見輔助線做法
初中幾何常見輔助線作法歌訣彙編 字型 數學就是這樣一種東西 她提醒你有無形的靈魂，她賦予她所發現的真理以生命 她提醒你有無形的靈魂，她賦予她所發現的真理以生命 她喚起心神，澄淨智慧型 她給我們的內心思想添輝 她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知。人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概...
初中數學輔助線典型做法
八年級數學培優訓練題 補形法的應用 班級姓名分數 一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析 有時顯得十分繁難，若通過適當的 補形 來進行，即添置適當的輔助線，將原圖形填補成乙個完整的 特殊的 簡單的新圖形，則能使原問題的本質得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，使原問題順利獲解。這種方法，我們稱之為補形法...