目錄線、角、相交線、平行線 - 2 -
三角形部分 - 4 -
四邊形部分 - 22 -
相似形和解直角三角形部分 - 36 -
圓部分 - 39 -
規律1.如果平面上有n(n≥2)個點，其中任何三點都不在同一直線上，那麼每兩點畫一條直線，一共可以畫出n(n－1)條.
規律2.平面上的n條直線最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕個部分.
規律3.如果一條直線上有n個點，那麼在這個圖形中共有線段的條數為n(n－1)條.
規律4.線段（或延長線）上任一點分線段為兩段，這兩條線段的中點的距離等於線段長的一半.
例：如圖，b**段ac上，m是ab的中點，n是bc的中點.
求證：mn =ac
證明：∵m是ab的中點，n是bc的中點
∴am = bm = ab ,bn = ** = bc
∴mn = mb+bn = ab + bc = (ab + bc)
∴mn =ac
練習：1.如圖，點c是線段ab上的一點，m是線段bc的中點.
求證：am = (ab + bc)
2.如圖，點b**段ac上，m是ab的中點，n是ac的中點.
求證：mn = bc
3.如圖，點b**段ac上，n是ac的中點，m是bc的中點.
求證：mn = ab
規律5.有公共端點的n條射線所構成的交點的個數一共有n(n－1)個.
規律6.如果平面內有n條直線都經過同一點，則可構成小於平角的角共有2n（n－1）個.
規律7. 如果平面內有n條直線都經過同一點，則可構成n（n－1）對對頂角.
規律8.平面上若有n（n≥3）個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）個.
規律9.互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數為90o.
規律10.平面上有n條直線相交，最多交點的個數為n(n－1)個.
規律11.互為補角中較小角的餘角等於這兩個互為補角的角的差的一半.
規律12.當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內錯角的角平分線互相平行，同旁內角的角平分線互相垂直.
例：如圖，以下三種情況請同學們自己證明.
規律13.已知ab∥de,如圖⑴～⑹,規律如下：
規律14.成「8」字形的兩個三角形的一對內角平分線相交所成的角等於另兩個內角和的一半.
例：已知，be、de分別平分∠abc和∠adc，若∠a = 45o,∠c = 55o,求∠e的度數.
解：∠a＋∠abe =∠e＋∠ade ①
∠c＋∠cde =∠e＋∠cbe ②
①＋②得
∠a＋∠abe＋∠c＋∠cde
=∠e＋∠ade＋∠e＋∠cbe
∵be平分∠abc、de平分∠adc，
∴∠abe =∠cbe，∠cde =∠ade
∴2∠e =∠a＋∠c
∴∠e = (∠a＋∠c)
∵∠a =45o,∠c =55o,
∴∠e =50o
規律15．在利用三角形三邊關係證明線段不等關係時，如果直接證不出來，可鏈結兩點或延長某邊構造三角形，使結論中出現的線段在乙個或幾個三角形中，再利用三邊關係定理及不等式性質證題.
例：如圖，已知d、e為△abc內兩點，求證：ab＋ac＞bd＋de＋ce.
證法（一）：將de向兩邊延長，分別交ab、ac於m、n
在△amn中， am＋ an＞md＋de＋ne ①
在△bdm中，mb＋md＞bd
在△cen中，**＋ne＞ce
①＋②＋③得
am＋an＋mb＋md＋**＋ne＞md＋de＋ne＋bd＋ce
∴ab＋ac＞bd＋de＋ce
證法（二）延長bd交ac於f，延長ce交bf於g,
在△abf和△gfc和△gde中有，
①ab＋af＞bd＋dg＋gf
②gf＋fc＞ge＋ce
③dg＋ge＞de
∴①＋②＋③有
ab＋af＋gf＋fc＋dg＋ge＞bd＋dg＋gf＋ge＋ce＋de
∴ab＋ac＞bd＋de＋ce
注意：利用三角形三邊關係定理及推論證題時，常通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關的量）移到同乙個或幾個三角形中去然後再證題.
練習：已知：如圖p為△abc內任一點，
求證： (ab＋bc＋ac)＜pa＋pb＋pc＜ab＋bc＋ac
規律16．三角形的乙個內角平分線與乙個外角平分線相交所成的銳角，等於第三個內角的一半.
例：如圖，已知bd為△abc的角平分線，cd為△abc 的外角∠ace的平分線，它與bd的延長線交於d.
求證：∠a = 2∠d
證明：∵bd、cd分別是∠abc、∠ace的平分線
∴∠ace =2∠1, ∠abc =2∠2
∵∠a = ∠ace －∠abc
∴∠a = 2∠1－2∠2
又∵∠d =∠1－∠2
∴∠a =2∠d
規律17. 三角形的兩個內角平分線相交所成的鈍角等於90o加上第三個內角的一半.
例：如圖，bd、cd分別平分∠abc、∠acb， 求證：∠bdc = 90o＋∠a
證明：∵bd、cd分別平分∠abc、∠acb
∴∠a＋2∠1＋2∠2 = 180o
∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠a①
∵∠bdc = 180o－(∠1＋∠2)
∴(∠1＋∠2) = 180o－∠bdc②
把②式代入①式得
2(180o－∠bdc)= 180o－∠a
即：360o－2∠bdc =180o－∠a
2∠bdc = 180o＋∠a
bdc = 90o＋∠a
規律18. 三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等於90o減去第三個內角的一半.
例：如圖，bd、cd分別平分∠ebc、∠fcb， 求證：∠bdc = 90o－∠a
證明：∵bd、cd分別平分∠ebc、∠fcb
∴∠ebc = 2∠1、∠fcb = 2∠2
∴2∠1 =∠a＋∠acb ①
2∠2 =∠a＋∠abc ②
①＋②得
2（∠1＋∠2）= ∠a＋∠abc＋∠acb＋∠a
2（∠1＋∠2）= 180o＋∠a
∴（∠1＋∠2）= 90o＋∠a
∵∠bdc = 180o－(∠1＋∠2)
∴∠bdc = 180o－(90o＋∠a)
∴∠bdc = 90o－∠a
規律19. 從三角形的乙個頂點作高線和角平分線，它們所夾的角等於三角形另外兩個角差（的絕對值）的一半.
例：已知，如圖，在△abc中，∠c＞∠b， ad⊥bc於d， ae平分∠bac.
求證：∠ead = (∠c－∠b)
證明：∵ae平分∠bac
∴∠bae =∠cae =∠bac
∵∠bac =180o－(∠b＋∠c)
∴∠eac =〔180o－(∠b＋∠c)〕
∵ad⊥bc
∴∠dac = 90o －∠c
∵∠ead = ∠eac－∠dac
∴∠ead =〔180o－(∠b＋∠c)〕－(90o－∠c)
90o－(∠b＋∠c)－90o＋∠c
c－∠b)
如果把ad平移可以得到如下兩圖，fd⊥bc其它條件不變，
結論為∠efd = (∠c－∠b).
注意：同學們在學習幾何時，可以把自己證完的題進行適當變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題，提高自己舉一反
三、靈活應變的能力.
規律20.在利用三角形的外角大於任何和它不相鄰的內角證明角的不等關係時，如果直接證不出來，可鏈結兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內角的位置上，再利用外角定理證題.
例：已知d為△abc內任一點，求證：∠bdc＞∠bac
證法（一）：延長bd交ac於e，
∵∠bdc是△edc 的外角，
∴∠bdc＞∠dec
同理：∠dec＞∠bac
∴∠bdc＞∠bac
證法（二）：鏈結ad，並延長交bc於f
∵∠bdf是△abd的外角，
∴∠bdf＞∠bad
同理∠cdf＞∠cad
∴∠bdf＋∠cdf＞∠bad＋∠cad
即：∠bdc＞∠bac
規律21.有角平分線時常在角兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形.
例：已知，如圖，ad為△abc的中線且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
求證：be＋cf＞ef
證明：在da上擷取dn = db，鏈結ne、nf，則dn = dc
在△bde和△nde中，
dn = db
∠1 = ∠2
ed = ed
∴△bde≌△nde
∴be = ne
同理可證：cf = nf
在△efn中，en＋fn＞ef
∴be＋cf＞ef
規律22. 有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構造全等三角形.
例：已知，如圖，ad為△abc的中線，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求證：be＋cf＞ef
證明：延長ed到m，使dm = de，鏈結cm、fm
△bde和△cdm中，
bd = cd
∠1 = ∠5
ed = md
∴△bde≌△cdm
∴cm = be
又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4
∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o
∴∠3 ＋∠2 = 90o
即∠edf = 90o
∴∠fdm = ∠edf = 90o
△edf和△mdf中
ed = md
∠fdm = ∠edf
df = df
∴△edf≌△mdf
∴ef = mf
∵在△cmf中，cf＋cm ＞mf
be＋cf＞ef
（此題也可加倍fd，證法同上）
規律23. 在三角形中有中線時，常加倍延長中線構造全等三角形.
例：已知，如圖，ad為△abc的中線，求證：ab＋ac＞2ad
證明：延長ad至e，使de = ad，鏈結be
∵ad為△abc的中線
∴bd = cd
在△acd和△ebd中
bd = cd
∠1 = ∠2
ad = ed
∴△acd≌△ebd
∵△abe中有ab＋be＞ae
∴ab＋ac＞2ad
規律24.截長補短作輔助線的方法
初中幾何輔助線做法
7 延長兩腰使之相交 四 在解決圓的問題中 1 兩圓相交連公共弦。2 兩圓相切，過切點引公切線。3 見直徑想直角 4 遇切線問題，鏈結過切點的半徑是常用輔助線 5 解決有關弦的問題時，常常作弦心距。輔助線作法 一 與中線有關的輔助線作法 題目中如果出現了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點鏈...
中考幾何輔助線大全2019
鷹 取經西天 縱論冬夜寒 拋磚引玉細細言 揮毫斬落題千萬 煉取真經三兩篇 老鷹深夜偶拾 話說昨夜值班，夜深人靜之時，忽然一夢，寫下這滿紙文字，若要對號入座，實在是無能為力，每一句都是乙個題眼，給孩子們充充電，考試前夜沒有事時，當是消磨時間，一旦出現了也許多個思路，多個招法，試舉幾例，灑下一地磚頭。關...
初中幾何常見輔助線做法歌訣
人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鑽研，找出規律憑經驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以後關係現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中...