**圓的輔助線作法
在平面幾何中，與圓有關的許多題目需要新增輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養學生的創造性思維。新增輔助線的方法有很多，本文只通過分析探索歸納幾種圓中常見的輔助線的作法。
下面以幾道題目為例加以說明。
1.有弦，可作弦心距
在解決與弦、弧有關的問題時，常常需要作出弦心距、半徑等輔助線，以便應用於垂徑定理和勾股定理解決問題。
例1 如圖1, ⊙o的弦ab、cd相交於點p，
且ac=bd。求證：po平分∠apd。
分析1：由等弦ac=bd可得出等弧 =
進一步得出 = ，從而可證等弦ab=cd，由同圓中
等弦上的弦心距相等且分別垂直於它們所對應的弦，因此可作輔助線oe⊥ab，of⊥cd，易證△ope≌△opf，得出po平分∠apd。
證法1：作oe⊥ab於e，of⊥cd於f
ac=bd =>>> ab=cd
=> oe=of
∠oep=∠ofp=90° => △ope≌△opf
0op=op
=>∠ope=∠opf => po平分∠apd
分析2：如圖1-1，欲證po平分∠apd，即證
∠opa=∠opd，可把∠opa與∠opd構造在兩個
三角形中，證三角形全等，於是不妨作輔助線
即半徑oa，od，因此易證△acp≌△dbp，得ap=dp，從而易證△opa≌△opd。
證法2：鏈結oa，od。
∠cap=∠bdp
∠apc=∠dpb =>△acp≌△dbp
ac=bd
=>ap=dp
oa=od =>△opa≌△opd =>∠opa=∠opd =>po平分∠apd
op=op
2.有直徑，可作直徑上的圓周角
對於關係到直徑的有關問題時，可作直徑上的圓周角，以便利用直徑所對的圓周角是直角這個性質。
例2 如圖2，在△abc中，ab=ac，
以ab為直徑作⊙o交bc於點d ，過d
作⊙o的切線dm交ac於m。求證 dm⊥ac。
分析：由ab是直徑，很自然想到其所
對的圓周角是直角。於是可鏈結ad，得∠adb=rt∠,又由等腰三角形性質可得∠1=∠2，再由弦切角的性質可得∠adm=∠b，故易證∠amd=∠adb=90°，從而dm⊥ac。
證明鏈結ad。
ab為⊙o的直徑 =>∠adb=rt∠
ab=ac
dm切⊙o於d => ∠adm=∠b
=> ∠1+∠b=∠2+∠adm =>∠amd=∠adb= rt∠ => dm⊥ac
說明，由直徑及等腰三角形想到作直徑上的圓周角。
3. 當圓中有切線常鏈結過切點的半徑或過切點的弦
例3 如圖3,ab是⊙o的直徑，點d在ab的延長線上，bd=ob，dc切⊙o於c點。求∠a的度數。
分析：由過切點的半徑垂直於切線，
於是可作輔助線即半徑oc，得rt△，
再由解直角三角形可得∠cob的度數，
從而可求∠a的度數。
解：鏈結oc。
dc切⊙o於c =>∠ocd=90°
oc=ob=bd
=> ∠a=1/2∠cob=30°
說明，由過切點的半徑垂直於切線想到鏈結半徑。
例4 如圖4，已知△abc中，∠1=∠2，
圓o過a、d兩點，且與bc切於d點。
求證 ef//bc。
分析：欲證ef//bc，可找同位角或內錯角
是否相等，顯然同位角相等不易證，於是可鏈結de，得一對內錯角∠bde與∠def，由圓的性質可知這兩個角分別等於∠1和∠2，故易證ef//bc。
證明鏈結de。
bc切⊙o於d =>∠bde= ∠1
2= ∠def =>∠bde= ∠def =>ef//bc
1= ∠2
說明，由有切線且在同圓中等弧所對的圓周角相等想到鏈結弦。
4.當兩圓相切，可作公切線或連心線
例5 已知：如圖5，⊙o1與⊙o2外切
於點p，過p點作兩條直線分別交⊙o1與
⊙o2於點a、b、c、d。求證 pbpc=papd。
分析：欲證pbpc=papd，即證pa∶pb=pc∶pd，
由此可作輔助線ac、bd，並證ac//db，要證平行，需證一對內錯角相等，如∠c=∠d，然後考慮到這兩個角分別與弦切角有關，進而再作輔助線即兩圓公切線mn，從而問題迎刃而解。
證明鏈結ac、bd，過p點作兩圓的內公切線mn
=>∠apm=∠c，∠bpn=∠d
∠apm=∠bpn
=> ac//db => pa∶pb=pc∶pd => pbpc=papd
說明，由需證弦平行且弦切角等於其所夾弧對的圓周角想到作公切線和作弦。
例6 已知：如圖6，⊙o1與⊙o2內切於點t，經過
切點t的直線與⊙o1與⊙o2分別相交於點a和b。
求證 ta∶tb=o1a∶o2b。
分析：欲證ta∶tb=o1a∶o2b，可考慮證這四條線段
所在的三角形相似，即證△to1a∽△to2b，於是只需鏈結o2o1，並延長，必過切點，則產生△to1a和△to2b，由∠1= ∠2=∠t，則o1a// o2b，易證線段比相等。
證明鏈結並延長o2o1
⊙o1 和 ⊙o2內切於點t
o1a=o1t =>∠1= ∠t
o2t= o2b =>∠2= ∠t
=>△to1a∽△to2b => ta∶tb=o1a∶o2b
說明，由連心線必過切點可構造三角形證全等想到作連心線。
5．當兩圓相交，可作公共弦或連心線。
例7 如圖7，⊙o1與⊙o2相交於a、b
兩點，過a點作⊙o2的切線交⊙o1於點c，
直線cb交⊙o2於點d，da延長線交⊙o1
於點e，鏈結ce。求證 ca=ce。
分析：欲證ca=ce，考慮在三角形中證它們所對的角相等，即∠e=∠cae，又由∠daf=∠cae，想到弦切角∠daf與所夾弧對的圓周角相等，故需作輔助線：公共弦ab，得∠e=∠dba，易證ca=ce。
證明鏈結ab。
ca切⊙o2於a =>∠daf=∠dba
四邊形abce內接於⊙o1 =>∠e=∠dba
daf=∠cae
=>∠e=∠cae => ca=ce
說明，由兩圓相交及用到弦切角和圓內接四邊形想到作公共弦。
例8 如圖8，在梯形abcd中，以兩腰
ad、bc分別為直徑的兩個圓相交於m、n兩點，
過m、n的直線與梯形上、下底交於e、f。
求證： mn⊥ab。
分析：因為mn是公共弦，若作輔助線o1o2，
必有mn⊥o1o2，再由o1o2是梯形的中位線，得o1o2//ab，從而易證mn⊥ab。
證明鏈結o1o2交ef於g => mn⊥o1o2。
do1=o1a，co2=o2b => o1o2是梯形abcd的中位線 => o1o2//ab
=>∠efa=∠ego1=rt∠ => mn⊥ab
說明，由兩圓相交連心線垂直於公共弦想到作連心線。
6．有半圓，可作整圓
例9 如圖9，bc為⊙o的直徑，ad⊥bc於d，
ad交bf於e。求證 ae=be
分析：欲證ae=be，可考慮在三角形中證這兩邊
所對角相等。即∠abf=∠bae，再考慮證這兩個圓周角
所對的弧相等，故需補全⊙o，可證 = ，故有 = 易證ae=be.
證明補全⊙o，延長ad交⊙o於h，
直徑bc⊥ad => =
=> = =>∠abf=∠bah => ae=be
說明，由平分弦的直徑必平分弦所對的弧想到補全圓。
7．相交兩圓中至少有乙個圓經過另乙個圓的圓心，遇到這類問題，常用的輔助線是鏈結過交點的半徑
例10 如圖10，⊙o1與⊙o2相交於
a、b兩點，且o2在⊙o1上，點p在⊙o1上，
點q在⊙o2上，若∠apb=40°，求∠aqb的度數。
分析鏈結o2a、o2b，在⊙o1中利用
圓內接四邊形性質求得∠ao2b=140°，在⊙o2中，
∠aqb=1/2∠ao2b=70°。
證明過程略。
說明，由同圓內同弧所對的圓周角等於所對圓心角的一半想到鏈結過交點的半徑。
幾何輔助線的新增，是幾何學習的乙個難點，正確新增輔助線，是溝通題設和結論的橋梁，也是解題的重要手段。學生在做幾何題時，明知需要引輔助線，但又不知如何引，而是亂加輔助線，反而使圖形複雜，影響思路與問題的解決。因此，恰當新增輔助線，使問題迎刃而解，從而調動學生積極性，激發學習興趣，開發智力，掌握解題技能與技巧，提高解題效率，培養思維能力。
參考文獻
1. 趙玉寬，《數理天地》中《圓內輔助線》
2. 林運來 ，《數理天地》中〈〈圓的輔助線〉〉
3. 伊紅鐘旭天陳士軍 〈〈初中數學教學案例專題研究〉〉
數學輔助線做法
中點，由此可以聯想到三角形中與邊中點有密 切聯絡的中位線，所以，可有如下2種輔助線作法 1 過d點作dn ca，交bf於n，可得n為bf中點，由中位線定理得dn 再證 aef den，則有af dn，進而有af 2 過d點作dm bf，交ac於m，可得fm cm，fm af，則有af 方法二 分析結...
常見輔助線做法
初中幾何常見輔助線作法歌訣彙編 字型 數學就是這樣一種東西 她提醒你有無形的靈魂，她賦予她所發現的真理以生命 她提醒你有無形的靈魂，她賦予她所發現的真理以生命 她喚起心神，澄淨智慧型 她給我們的內心思想添輝 她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知。人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概...
初中幾何輔助線做法
7 延長兩腰使之相交 四 在解決圓的問題中 1 兩圓相交連公共弦。2 兩圓相切，過切點引公切線。3 見直徑想直角 4 遇切線問題，鏈結過切點的半徑是常用輔助線 5 解決有關弦的問題時，常常作弦心距。輔助線作法 一 與中線有關的輔助線作法 題目中如果出現了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點鏈...